Concentration de mesure et convergence

Résolution.

1. Posons $g_n(t) = (1-t^2)^n$. Pour tout $t \in ]0, 1]$, on a $0 \leq 1-t^2 < 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} g_n(t) = 0$. De plus, pour tout $t \in [0, 1]$, $|g_n(t)| \leq 1$, et la fonction constante égale à $1$ est intégrable sur $[0, 1]$. Par le théorème de convergence dominée, on en déduit :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

2. 1. Convergence simple : Soit $x \in [0, 1[$. Pour tout $t \in [0, x]$, on a $(1-t^2) \leq 1$. Cependant, pour isoler la dépendance en $n$, on observe que :
      $$0 \leq \int_0^x (1-t^2)^n \text{d}t \leq \int_0^x (1-x^2)^n \text{d}t = x(1-x^2)^n$$
      Il nous faut un équivalent de $u_n$. En posant $t = \cos \theta$, on retrouve des intégrales de Wallis, ou plus simplement par intégration par parties :
      $$u_n = \int_0^1 1 \cdot (1-t^2)^n \text{d}t = \underbrace{[t(1-t^2)^n]_0^1}_{=0} + 2n \int_0^1 t^2(1-t^2)^{n-1} \text{d}t$$
      En écrivant $t^2 = 1 - (1-t^2)$, on obtient $u_n = 2n(u_{n-1} - u_n)$, soit $u_n = \frac{2n}{2n+1} u_{n-1}$. Par calcul standard (Stirling ou produit), on obtient $u_n \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}}$. Ainsi, pour $x \in [0, 1[$ :
      $$0 \leq f_n(x) \leq \frac{x(1-x^2)^n}{u_n} \sim \frac{2x\sqrt{n}(1-x^2)^n}{\sqrt{\pi}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
      Comme $f_n(1) = \frac{u_n}{u_n} = 1$, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f$ définie par :
      $$\boxed{f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[$$
      1 & \text{si } x = 1 \end{cases}}

   2. Convergence uniforme : La limite simple $f$ n'est pas continue sur $[0, 1]$, alors que chaque $f_n$ est continue (primitive d'une fonction continue). Par contraposée du théorème de continuité des limites uniformes :
      $$\boxed{\text{La convergence n'est pas uniforme sur } [0, 1]}$$
      Cependant, sur tout segment $[0, a]$ avec $a < 1$, on a :
      $$\|f_n\|_{\infty, [0, a]} = f_n(a) \to 0$$
      donc il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans $[0, 1[$.