Analyse asymptotique d'une intégrale généralisée

Pour $n \in \mathbb{N}$ , on pose $u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^n}$ .

Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels $u_n$ est bien définie.
Montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .
À l'aide d'un développement en série, obtenir un développement asymptotique de $u_n$ à deux termes. On pourra admettre que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}$ .

1.

Examiner l'intégrabilité en $+\infty$ par comparaison.

2.

Découper l'intégrale en $\int_0^1$ et $\int_1^{+\infty}$ pour appliquer la convergence dominée ou des majorations.

3.

Pour le développement, écrire $u_n - 1 = \int_0^1 (\frac{1}{1+t^n}-1)\mathrm{d}t + \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}$ , puis utiliser les séries géométriques.

Idées clés

•

Intégrabilité des fonctions de Riemann.

•

Interversion série-intégrale pour les séries alternées.

•

Lien entre la fonction zêta de Riemann et la série harmonique alternée.

1. Existence de l'intégrale.

La fonction $f_n : t \mapsto \frac{1}{1+t^n}$ est continue sur $[0, +\infty[$ . En $+\infty$ , on a $f_n(t) \sim \frac{1}{t^n}$ .

D'après le cours sur les intégrales de Riemann, l'intégrale converge si et seulement si $n > 1$ . Comme $n \in \mathbb{N}$ , la condition est :

\boxed{n \geqslant 2}

2. Limite de la suite.

On utilise le théorème de convergence dominée. La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ définie par $f(t)=1$ sur $[0, 1[$ , $f(1)=1/2$ et $f(t)=0$ sur $]1, +\infty[$ .

Pour $n \geqslant 2$ , on a la domination $|f_n(t)| \leqslant \phi(t)$ avec :

\phi(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 \leqslant t \leqslant 1 1/t^2 & \text{si } t > 1 \end{cases}

La fonction $\phi$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ . Donc $\lim u_n = \int_0^{+\infty} f = \int_0^1 1 \mathrm{d}t = 1$ .

3. Développement asymptotique.

Étudions la différence $v_n = u_n - 1$ :

v_n = \int_0^1 \left(\frac{1}{1+t^n} - 1\right) \mathrm{d}t + \int_1^{+\infty} \frac{1}{1+t^n} \mathrm{d}t = -\int_0^1 \frac{t^n}{1+t^n} \mathrm{d}t + \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}

Pour la première intégrale, on utilise le développement en série entière :

\int_0^1 \frac{t^n}{1+t^n} \mathrm{d}t = \int_0^1 \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k t^{n(k+1)} \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{nk+1}

(Justification par le critère des séries alternées : le reste est majoré par le premier terme qui tend vers 0).

Pour la seconde, on pose $x = 1/t$ :

\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^n} = \int_0^1 \frac{x^{n-2}}{1+x^n} \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^1 (-1)^k x^{n(k+1)-2} \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{nk-1}

En regroupant les deux termes :

v_n = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \left( \frac{1}{nk-1} - \frac{1}{nk+1} \right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{n^2k^2-1}

On compare cette somme à $\frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2} = \frac{2}{n^2} \cdot \frac{\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{6n^2}$ .

L'écart est :

\left| v_n - \frac{\pi^2}{6n^2} \right| = \left| \sum_{k=1}^{+\infty} 2(-1)^{k+1} \left( \frac{1}{n^2k^2-1} - \frac{1}{n^2k^2} \right) \right| = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2}{n^2k^2(n^2k^2-1)}

Ce reste est en $O(1/n^4)$ . Finalement :

\boxed{u_n = 1 + \frac{\pi^2}{6n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)}

Justification de l'interversion série-intégrale.

Utilisation de la série harmonique alternée pour le second terme.