Étude d'une série alternée de fonctions

Soit $\alpha > 0$ . On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur l'intervalle $[0, 1]$ par :

u_n(x) = \frac{(-1)^n x^{\alpha+n}}{\alpha+n}

Pour tout $x \in [0, 1[$ , établir l'égalité suivante : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{\alpha+n} = \int_{0}^{1} \frac{t^{\alpha-1}}{1+xt} \mathrm{d}t$ Note : On pourra également montrer que $\sum_{n=0$ ^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{\alpha+n}}{\alpha+n} = \int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha-1}}{1+t} \mathrm{d}t $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{α + n}}{α + n} = \int_{0}^{x} \frac{t ^{α - 1}}{1 + t} d t$ .}
Déterminer les modes de convergence (simple, normale, uniforme) de la série de fonctions $\sum u_n$ sur l'intervalle $[0, 1]$ .
Justifier que la relation établie à la question 1 est encore valable pour $x=1$ . En déduire la valeur de la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\alpha+n}$ sous forme d'intégrale.

1.

Pour la question 1, utiliser le développement en série géométrique du dénominateur sous l'intégrale et justifier l'interversion signe somme/intégrale.

2.

Pour la convergence uniforme sur $[0, 1]$ , le critère spécial des séries alternées fournit une majoration du reste indépendante de $x$ .

3.

Pour la question 3, invoquer la continuité de la limite uniforme de fonctions continues.

Idées clés

•

Développement en série géométrique : $\frac{1}{1+t} = \sum (-1)^n t^n$ .

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence uniforme.

Résolution.

Soit $x \in [0, 1[$ . Pour tout $t \in [0, x]$ , on a le développement en série géométrique de raison $-t$ : $\frac{t^{\alpha-1}}{1+t} = t^{\alpha-1} \sum_{n=0}^{+\infty} (-t)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{\alpha+n-1}$ Pour $x$ fixé dans $[0, 1[$ , la série de fonctions $t \mapsto (-1)^n t^{\alpha+n-1}$ converge normalement sur le segment $[0, x]$ . En effet, le sup de la valeur absolue est $x^{\alpha+n-1}$ , qui est le terme général d'une série géométrique convergente. On peut donc intégrer terme à terme sur $[0, x]$ : $\int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha-1}}{1+t} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_{0}^{x} t^{\alpha+n-1} \mathrm{d}t$ Le calcul de l'intégrale donne immédiatement : $\boxed{ \int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha-1}}{1+t} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{\alpha+n}}{\alpha+n} }$
Convergence simple : Pour chaque $x \in [0, 1]$ , la suite $(|u_n(x)|)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et converge vers $0$ . D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum u_n(x)$ converge. La série converge donc simplement sur $[0, 1]$ .
Convergence normale : On a $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} \frac{x^{\alpha+n}}{\alpha+n} = \frac{1}{\alpha+n}$ . La série $\sum \frac{1}{\alpha+n}$ diverge (série de Riemann de paramètre 1).
$\boxed{ \text{La série ne converge pas normalement sur } [0, 1]. }$
Convergence uniforme : D'après le CSSA, le reste d'ordre $n$ , noté $R_n(x)$ , vérifie :
$\forall x \in [0, 1], |R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \right| \leq |u_{n+1}(x)| = \frac{x^{\alpha+n+1}}{\alpha+n+1}$ En passant au supremum, on obtient : $\sup_{x \in [0, 1]} |R_n(x)| \leq \frac{1}{\alpha+n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ $\boxed{ \text{La série converge uniformément sur } [0, 1]. }$
Posons $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{\alpha+n}}{\alpha+n}$ . Chaque fonction $u_n$ est continue sur $[0, 1]$ et la série converge uniformément sur ce segment, donc $f$ est continue sur $[0, 1]$ . Par ailleurs, la fonction $g : x \mapsto \int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha-1}}{1+t} \mathrm{d}t$ est la primitive d'une fonction continue s'annulant en $0$ , elle est donc continue sur $[0, 1]$ . Comme $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in [0, 1[$ , par continuité en $1$ : $\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\alpha+n} = \int_{0}^{1} \frac{t^{\alpha-1}}{1+t} \mathrm{d}t }$

Confusion entre convergence uniforme et convergence normale.

Majoration du reste par le premier terme pour la CVU des séries alternées.