Convergence uniforme et majoration par concavité

Résolution.

1. Convergence uniforme de $(f_n)$ : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0, 1]$ et on a :
   $$\forall x \in [0, 1],   f_n'(x) = nx^{n-1} - (n+1)x^n = x^{n-1} \left( n - (n+1)x \right)$$
   La dérivée s'annule en $x_n = \frac{n}{n+1} \in [0, 1]$. On en déduit que $f_n$ est croissante sur $[0, x_n]$ et décroissante sur $[x_n, 1]$. Le maximum de $f_n$ sur $[0, 1]$ est donc atteint en $x_n$. On calcule :
   $$\|f_n\|_\infty = f_n(x_n) = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \left( 1 - \frac{n}{n+1} \right) = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \frac{1}{n+1}$$
   Or, nous savons que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} e$. Par conséquent :
   $$\boxed{ \|f_n\|_\infty \sim \frac{1}{en} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 }$$
   La suite $(f_n)$ converge donc uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$.

2. Convergence uniforme de $(g_n)$ : Considérons la fonction $s : t \mapsto \sin(t)$. Elle est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0, \pi]$ et sa dérivée seconde $s''(t) = -\sin(t)$ est négative sur cet intervalle. Ainsi, $s$ est concave sur $[0, \pi]$. Son graphe est donc situé sous la tangente au point d'abscisse $\pi$. L'équation de cette tangente est :
   $$Y = s'(\pi)(t - \pi) + s(\pi) = \cos(\pi)(t - \pi) + 0 = -(t - \pi) = \pi - t$$
   On en déduit que $\forall t \in [0, \pi], \sin(t) \leq \pi - t$. En posant $t = \pi x$ pour $x \in [0, 1]$, on obtient :
   $$\forall x \in [0, 1],   0 \leq \sin(\pi x) \leq \pi - \pi x = \pi(1-x)$$
   On multiplie cette inégalité par $x^n \geq 0$ :
   $$\forall x \in [0, 1],   0 \leq g_n(x) \leq \pi x^n(1-x) = \pi f_n(x)$$
   Par passage à la borne supérieure sur $[0, 1]$ :
   $$\boxed{ 0 \leq \|g_n\|_\infty \leq \pi \|f_n\|_\infty }$$
   D'après la question 1, $\|f_n\|_\infty \to 0$, donc par le théorème des gendarmes :
   $$\boxed{ \|g_n\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 }$$
   La suite $(g_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$.