Limite d'une somme par convergence dominée

Soit $\alpha$ un réel strictement positif fixé.

Déterminer la limite, lorsque l'entier $n$ tend vers $+\infty$ , de la quantité suivante :

S_n = \sum_{k=0}^{n} \left(1 - \frac{k}{n}\right)^{n \alpha}

On pourra utiliser un théorème d'interversion limite-somme ou de convergence dominée pour les suites de fonctions définies sur $\mathbb{N}$ .

1.

Introduire une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ de telle sorte que $S_n$ s'écrive comme la somme d'une série.

2.

Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.

3.

Chercher une domination de $|f_n(k)|$ par le terme général d'une série convergente indépendante de $n$ pour appliquer le théorème de convergence dominée ou de convergence normale.

Idées clés

•

Transformation d'une somme finie en somme infinie via une fonction indicatrice.

•

Utilisation de l'inégalité classique $\ln(1+x) \leq x$ pour établir une domination.

•

Application du théorème de convergence dominée dans le cadre des suites à valeurs dans $\ell^1(\mathbb{N})$ .

Résolution.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $k \in \mathbb{N}$ , définissons la fonction $f_n$ par :

f_n(k) = \begin{cases} \left( 1 - \dfrac{k}{n} \right)^{n \alpha} & \text{si } 0 \leq k \leq n 0 & \text{si } k > n \end{cases}

Ainsi, la somme étudiée s'écrit comme une somme infinie :

S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} f_n(k)

1. Recherche de la limite simple.

Fixons $k \in \mathbb{N}$ . Pour $n$ suffisamment grand ( $n \geq k$ ), on peut écrire :

f_n(k) = \exp \left( n \alpha \ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) \right)

En utilisant le développement limité du logarithme au voisinage de 0, $\ln(1 - \epsilon) = -\epsilon + o(\epsilon)$ , il vient :

n \alpha \ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) = n \alpha \left( -\frac{k}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = -k\alpha + o(1)

Par continuité de l'exponentielle, on obtient la limite simple :

\lim_{n \to +\infty} f_n(k) = e^{-k\alpha}

2. Établissement d'une domination.

Pour utiliser le théorème de convergence dominée sur l'espace de mesure $(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mu)$ où $\mu$ est la mesure de comptage, nous devons dominer $|f_n(k)|$ .

On utilise l'inégalité classique : $\forall x \in ]-\infty, 1[, \ln(1-x) \leq -x$ .

Pour $k \in \{0, \dots, n\}$ , on a $x = \frac{k}{n} \in [0, 1]$ , donc :

\ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) \leq -\frac{k}{n}

En multipliant par $n\alpha > 0$ et en passant à l'exponentielle (croissante sur $\mathbb{R}$ ), on obtient :

f_n(k) = \exp\left( n\alpha \ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) \right) \leq \exp\left( n\alpha \cdot \left(-\frac{k}{n}\right) \right) = e^{-k\alpha}

Cette inégalité reste vraie pour $k > n$ puisque $f_n(k) = 0$ et $e^{-k\alpha} > 0$ .

Posons alors $\phi(k) = e^{-k\alpha}$ .

3. Vérification de l'intégrabilité et conclusion.

Comme $\alpha > 0$ , on a $|e^{-\alpha}| < 1$ . La série de terme général $\phi(k)$ est une série géométrique convergente.

\sum_{k=0}^{+\infty} \phi(k) = \sum_{k=0}^{+\infty} (e^{-\alpha})^k = \frac{1}{1 - e^{-\alpha}} < +\infty

Les hypothèses du théorème de convergence dominée sont réunies. On peut donc intervertir la limite et la somme :

\lim_{n \to +\infty} S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \lim_{n \to +\infty} f_n(k) = \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-k\alpha}

Le résultat final est donc :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} \left(1 - \frac{k}{n}\right)^{n \alpha} = \frac{e^\alpha}{e^\alpha - 1} }

Passage à la limite sous le signe somme sans justification de domination ou de convergence normale.

Utiliser l'indicatrice pour transformer une somme finie en somme infinie et appliquer les théorèmes de convergence.