Critère logarithmique de convergence

Résolution.

1. Supposons qu'à partir d'un certain rang $n_0$, on ait $\frac{\ln(1/u_n)}{\ln n} \geq k$ avec $k > 1$. Comme $n \geq n_0$, on peut supposer $n > 1$ de sorte que $\ln n > 0$. L'inégalité est équivalente à :
   $$\ln\left(\frac{1}{u_n}\right) \geq k \ln(n)$$
   Par croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, on obtient :
   $$\exp\left(\ln\left(\frac{1}{u_n}\right)\right) \geq \exp\left(\ln(n^k)\right)$$
   D'où :
   $$\frac{1}{u_n} \geq n^k \implies \boxed{ u_n \leq \frac{1}{n^k} }$$
   Comme $k > 1$, la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^k}$ converge. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, on en déduit que :
   $$\boxed{\sum u_n \text{ converge}}$$

2. Supposons maintenant qu'à partir d'un certain rang $n_0 \geq 2$, on ait $\frac{\ln(1/u_n)}{\ln n} \leq 1$. En multipliant par $\ln n > 0$, il vient :
   $$\ln\left(\frac{1}{u_n}\right) \leq \ln(n)$$
   En appliquant la fonction exponentielle :
   $$\frac{1}{u_n} \leq n \implies \boxed{ u_n \geq \frac{1}{n} }$$
   On reconnaît le terme général de la série harmonique qui est divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, on conclut que :
   $$\boxed{\sum u_n \text{ diverge}}$$

3. Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(1/u_n)}{\ln n}$.
   1. Si $\ell > 1$ : Choisissons un réel $k$ tel que $1 < k < \ell$. Par définition de la limite, en posant $\varepsilon = \ell - k > 0$, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ :
      $$\frac{\ln(1/u_n)}{\ln n} \geq \ell - \varepsilon = k$$
      D'après la question 1, puisque $k > 1$, la série $\sum u_n$ converge.

   2. Si $\ell < 1$ : Par définition de la limite, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ :
      $$\frac{\ln(1/u_n)}{\ln n} \leq 1$$
      (On peut prendre ici n'importe quelle valeur entre $\ell$ et $1$, ou simplement invoquer que la suite finit par être strictement inférieure à $1$). D'après la question 2, la série $\sum u_n$ diverge.