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Rotation induite par une série vectorielle

produit vectorielexponentielle de matricerotationsérie vectorielleProduit vectorielSéries d'endomorphismes

Soit E3E_3 un espace euclidien orienté de dimension 3. On considère un vecteur non nul r⃗∈E3∖{0⃗}\vec{r} \in E_3 \setminus \{\vec{0}\}.

On définit une suite de vecteurs (x⃗n)n∈N(\vec{x}_n)_{n \in \mathbb{N}} par son premier terme x⃗0∈E3\vec{x}_0 \in E_3 et par la relation de récurrence suivante :

∀n∈N,x⃗n+1=r⃗∧x⃗n\forall n \in \mathbb{N},   \vec{x}_{n+1} = \vec{r} \wedge \vec{x}_n

  1. Étudier la convergence de la série ∑n≥01n!x⃗n\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!} \vec{x}_n.
  2. On note RR l'application qui à x⃗0\vec{x}_0 associe la somme de cette série : R(x⃗0)=∑n=0+∞1n!x⃗nR(\vec{x}_0) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \vec{x}_n. Montrer que RR est une rotation dont on précisera l'axe et l'angle.

1.

Introduire l'endomorphisme u:x⃗↦r⃗∧x⃗u : \vec{x} \mapsto \vec{r} \wedge \vec{x} et remarquer que x⃗n=un(x⃗0)\vec{x}_n = u^n(\vec{x}_0).

2.

Utiliser une base orthonormée directe (e⃗1,e⃗2,e⃗3)(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) adaptée au vecteur r⃗\vec{r} (par exemple avec e⃗3\vec{e}_3 colinéaire à r⃗\vec{r}).

3.

On pourra utiliser la notation complexe dans le plan (e⃗1,e⃗2)(\vec{e}_1, \vec{e}_2) ou décomposer x⃗0\vec{x}_0 sur l'axe et le plan normal à r⃗\vec{r}.

Idées clés

•

Interprétation de la suite comme les puissances d'un endomorphisme.

•

Lien entre l'exponentielle d'un endomorphisme antisymétrique et les rotations.

•

Utilisation d'une base adaptée pour simplifier le calcul matriciel.

Résolution.

  1. Soit uu l'endomorphisme de E3E_3 défini par u(x⃗)=r⃗∧x⃗u(\vec{x}) = \vec{r} \wedge \vec{x}. Par récurrence immédiate, on a :
    ∀n∈N,x⃗n=un(x⃗0)\forall n \in \mathbb{N},   \vec{x}_n = u^n(\vec{x}_0)

    On travaille dans l'espace vectoriel normé E3E_3. Pour tout x⃗∈E3\vec{x} \in E_3, par propriété du produit vectoriel :

    ∥u(x⃗)∥=∥r⃗∧x⃗∥≤∥r⃗∥⋅∥x⃗∥\|u(\vec{x})\| = \|\vec{r} \wedge \vec{x}\| \le \|\vec{r}\| \cdot \|\vec{x}\|

    Ainsi, la norme d'opérateur de uu vérifie ∥u∥≤∥r⃗∥\|u\| \le \|\vec{r}\|. On en déduit :

    ∀n∈N,∥1n!x⃗n∥≤∥r⃗∥nn!∥x⃗0∥\forall n \in \mathbb{N},   \left\| \frac{1}{n!} \vec{x}_n \right\| \le \frac{\|\vec{r}\|^n}{n!} \|\vec{x}_0\|

    La série de terme général ∥r⃗∥nn!∥x⃗0∥\frac{\|\vec{r}\|^n}{n!} \|\vec{x}_0\| converge vers e∥r⃗∥∥x⃗0∥e^{\|\vec{r}\|} \|\vec{x}_0\|. Par comparaison, la série ∑1n!x⃗n\sum \frac{1}{n!} \vec{x}_n est absolument convergente.

    La seˊrie ∑n=0+∞1n!x⃗n converge dans E3.\boxed{\text{La série } \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \vec{x}_n \text{ converge dans } E_3.}

  2. Posons r=∥r⃗∥>0r = \|\vec{r}\| > 0. Considérons une base orthonormée directe B=(e⃗1,e⃗2,e⃗3)\mathcal{B} = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) de E3E_3 telle que e⃗3=1rr⃗\vec{e}_3 = \frac{1}{r} \vec{r}. L'image des vecteurs de la base par uu est :
    • u(e⃗3)=r⃗∧e⃗3=0⃗u(\vec{e}_3) = \vec{r} \wedge \vec{e}_3 = \vec{0}
    • u(e⃗1)=re⃗3∧e⃗1=re⃗2u(\vec{e}_1) = r \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1 = r \vec{e}_2
    • u(e⃗2)=re⃗3∧e⃗2=−re⃗1u(\vec{e}_2) = r \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_2 = -r \vec{e}_1

    La matrice de uu dans la base B\mathcal{B} est donc :

    M=MatB(u)=(0−r0r00000)M = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0 & -r & 0
    r & 0 & 0
    0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

    L'application RR est l'endomorphisme exp⁡(u)=∑n=0+∞1n!un\exp(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} u^n. Sa matrice dans B\mathcal{B} est :

    MatB(R)=exp⁡(M)\text{Mat}_{\mathcal{B}}(R) = \exp(M)

    Par blocs, si on note J=(0−rr0)J = \begin{pmatrix} 0 & -r
    r & 0 \end{pmatrix}    , on a M=(J000)M = \begin{pmatrix} J & 0
    0 & 0 \end{pmatrix}    , d'où exp⁡(M)=(exp⁡(J)00e0)\exp(M) = \begin{pmatrix} \exp(J) & 0
    0 & e^0 \end{pmatrix}    . Calculons exp⁡(J)\exp(J). On remarque que J=r(0−110)J = r \begin{pmatrix} 0 & -1
    1 & 0 \end{pmatrix}    . Les puissances de la matrice de structure complexe se calculent classiquement :

    exp⁡(J)=(cos⁡r−sin⁡rsin⁡rcos⁡r)\exp(J) = \begin{pmatrix} \cos r & -\sin r
    \sin r & \cos r \end{pmatrix}

    On en conclut que :

    MatB(R)=(cos⁡r−sin⁡r0sin⁡rcos⁡r0001)\text{Mat}_{\mathcal{B}}(R) = \begin{pmatrix} \cos r & -\sin r & 0
    \sin r & \cos r & 0
    0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    On reconnaît la matrice d'une rotation d'axe Vect(e⃗3\vec{e}_3) et d'angle rr.

    R est la rotation d’axe dirigeˊ par r⃗ et d’angle ∥r⃗∥.\boxed{R \text{ est la rotation d'axe dirigé par } \vec{r} \text{ et d'angle } \|\vec{r}\|.}

Confusion entre le vecteur directeur r et l'angle de la rotation.

L'exponentielle d'un endomorphisme associé au produit vectoriel est une rotation.