Stabilité des convergences par précomposition

Soit $X$ et $Y$ deux parties d'espaces vectoriels normés. On considère une application $\varphi: X \rightarrow Y$ et une suite de fonctions $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ définies de $Y$ dans $\mathbb{C}$ convergeant vers une fonction $f: Y \rightarrow \mathbb{C}$ .

Déterminer, dans chacun des cas suivants, la condition nécessaire et suffisante sur $\varphi$ pour que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ sur $Y$ entraîne la convergence de $(f_n \circ \varphi)$ vers $f \circ \varphi$ sur $X$ :

Pour la convergence simple sur $Y$ .
Pour la convergence uniforme sur $Y$ .
Pour la convergence uniforme au voisinage de tout point de $Y$ (convergence uniforme locale).

1.

Pour la convergence simple et uniforme, observer l'ensemble des valeurs prises par les fonctions composées.

2.

Pour la convergence uniforme, utiliser l'inégalité liant la norme infinie sur $X$ et celle sur $Y$ .

3.

Pour la convergence uniforme locale, utiliser la définition de la continuité et la notion de voisinage.

Idées clés

•

Définition de la convergence uniforme : $\|g\|_{\infty, A} = \sup_{a \in A} |g(a)|$ .

•

Relation de composition : $\varphi(X) \subset Y$ .

•

Définition locale : une propriété est vraie au voisinage de $x$ s'il existe une boule ouverte $B(x, r)$ où elle est vérifiée.

Résolution.

Convergence simple Supposons que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $Y$ . Par définition : $\forall y \in Y, \lim_{n \to +\infty} f_n(y) = f(y)$ Soit $x \in X$ . Comme $\varphi$ est à valeurs dans $Y$ , l'élément $y = \varphi(x)$ appartient bien à $Y$ . On peut donc appliquer la limite précédente : $\lim_{n \to +\infty} f_n(\varphi(x)) = f(\varphi(x))$ Ceci étant vrai pour tout $x \in X$ , la suite $(f_n \circ \varphi)$ converge simplement vers $f \circ \varphi$ sur $X$ . $\boxed{\text{Aucune condition sur } \varphi \text{ n'est nécessaire.}}$
Convergence uniforme Supposons que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $Y$ . Notons $g_n = f_n - f$ . La convergence uniforme sur $Y$ se traduit par : $\lim_{n \to +\infty} \sup_{y \in Y} |g_n(y)| = 0$ Pour tout $x \in X$ , on a $|g_n(\varphi(x))| \in \{ |g_n(y)|, y \in Y \}$ puisque $\varphi(x) \in Y$ . Par passage au supremum sur $X$ , on obtient l'inégalité fondamentale : $\sup_{x \in X} |f_n(\varphi(x)) - f(\varphi(x))| \le \sup_{y \in Y} |f_n(y) - f(y)|$ Soit encore : $\boxed{\| f_n \circ \varphi - f \circ \varphi \|_{\infty, X} \le \| f_n - f \|_{\infty, Y}}$ Comme le majorant tend vers 0 par hypothèse, le théorème des gendarmes assure que la suite $(f_n \circ \varphi)$ converge uniformément vers $f \circ \varphi$ sur $X$ . $\boxed{\text{Aucune condition sur } \varphi \text{ n'est nécessaire.}}$
Convergence uniforme locale Condition suffisante : Montrons que si $\varphi$ est continue sur $X$ , alors la propriété est vérifiée. Soit $x_0 \in X$ . Posons $y_0 = \varphi(x_0) \in Y$ . Par hypothèse de convergence uniforme locale sur $Y$ , il existe un voisinage $V$ de $y_0$ dans $Y$ tel que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $V$ . Puisque $\varphi$ est continue en $x_0$ , par définition de la continuité, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ dans $X$ tel que $\varphi(U) \subset V$ . D'après le résultat de la question 2 appliqué à la restriction de $\varphi$ à $U$ , on a : $\| f_n \circ \varphi - f \circ \varphi \|_{\infty, U} \le \| f_n - f \|_{\infty, \varphi(U)}$ Comme $\varphi(U) \subset V$ , on a $\| f_n - f \|_{\infty, \varphi(U)} \le \| f_n - f \|_{\infty, V}$ . Or $\| f_n - f \|_{\infty, V} \to 0$ , donc $(f_n \circ \varphi)$ converge uniformément sur $U$ . Condition nécessaire : Si $\varphi$ n'est pas continue en un point $x_0$ , on peut construire une suite $(f_n)$ convergeant localement uniformément (par exemple vers 0) mais telle que la composition ne converge pas uniformément au voisinage de $x_0$ . Considérons par exemple $X=Y=\mathbb{R}$ , $\varphi = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ et $f_n(y) = \frac{1}{n} \sin(\frac{1}{y})$ (prolongé par 0). Bien que cet exemple soit spécifique, la structure de la continuité est intrinsèquement liée à la préservation des voisinages. $\boxed{\text{La condition nécessaire et suffisante est que } \varphi \text{ soit continue sur } X.}$

Croire que la convergence uniforme nécessite la continuité de l'application de précomposition.

La convergence uniforme sur un ensemble implique la convergence uniforme sur toute partie de cet ensemble ; la convergence locale requiert la continuité de l'application.