Construction d'une solution d'équation fonctionnelle

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue satisfaisant la relation suivante :

\forall x \in \mathbb{R},   f(x+1) = f(x) + 2

Montrer qu'il existe une fonction $h \in \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que :

$h \circ f = 2h$
$\forall x \in \mathbb{R}, h(x+1) = h(x) + 1$

1.

Introduire la fonction $g(x) = f(x) - 2x$ et montrer qu'elle est $1$ -périodique.

2.

Chercher $h$ sous la forme $h(x) = x + \phi(x)$ où $\phi$ est une fonction $1$ -périodique.

3.

Traduire la condition $h \circ f = 2h$ en une équation fonctionnelle sur $\phi$ .

4.

Exprimer $\phi$ comme la somme d'une série de fonctions.

Idées clés

•

Décomposition en partie linéaire et partie périodique.

•

Utilisation d'une série de fonctions pour résoudre une équation de type point fixe.

•

Convergence normale pour garantir la continuité de la somme.

Étape 1 : Analyse de la structure de $f$ .

Posons $g(x) = f(x) - 2x$ . La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Calculons $g(x+1)$ :

g(x+1) = f(x+1) - 2(x+1) = f(x) + 2 - 2x - 2 = f(x) - 2x = g(x)

Ainsi, $g$ est une fonction continue et $1$ -périodique. On en déduit que :

\boxed{f(x) = 2x + g(x)}

Étape 2 : Analyse de la structure de $h$ .

La condition $h(x+1) = h(x) + 1$ suggère de chercher $h$ sous la forme $h(x) = x + \phi(x)$ . En substituant cette expression, la condition devient :

(x+1) + \phi(x+1) = x + \phi(x) + 1 \iff \phi(x+1) = \phi(x)

Il suffit donc de trouver une fonction $\phi$ continue et $1$ -périodique.

Étape 3 : Traduction de la condition $h \circ f = 2h$ .

Substituons $h(x) = x + \phi(x)$ dans l'équation $h(f(x)) = 2h(x)$ :

f(x) + \phi(f(x)) = 2(x + \phi(x))

2x + g(x) + \phi(f(x)) = 2x + 2\phi(x)

En simplifiant par $2x$ , on obtient l'équation fonctionnelle suivante sur $\phi$ :

\phi(x) = \frac{1}{2} g(x) + \frac{1}{2} \phi(f(x))

Étape 4 : Résolution par une série de fonctions.

En itérant cette relation, on est naturellement conduit à considérer la série de fonctions :

\phi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{g(f^{\circ n}(x))}{2^{n+1}}

Montrons que cette série définit bien une fonction convenable.

Continuité et convergence : La fonction $g$ est continue et $1$ -périodique sur $\mathbb{R}$ , donc elle est bornée. Notons $M = \sup_{x \in \mathbb{R}} |g(x)|$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$ :

\left| \frac{g(f^{\circ n}(x))}{2^{n+1}} \right| \le \frac{M}{2^{n+1}}

Il s'agit du terme général d'une série géométrique convergente. La série converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ . Comme chaque terme $x \mapsto \frac{g(f^{\circ n}(x))}{2^{n+1}}$ est continu, la somme $\phi$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Vérification de l'équation fonctionnelle :

\frac{1}{2} g(x) + \frac{1}{2} \phi(f(x)) = \frac{1}{2} g(x) + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{g(f^{\circ n+1}(x))}{2^{n+2}} = \frac{g(x)}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{g(f^{\circ k}(x))}{2^{k+1}} = \phi(x)

Périodicité de $\phi$ : On a établi que $f(x+1) = f(x) + 2$ . Par récurrence, on montre que $f^{\circ n}(x+1) = f^{\circ n}(x) + 2^n$ . Comme $g$ est $1$ -périodique et que $2^n \in \mathbb{Z}$ , on a :

g(f^{\circ n}(x+1)) = g(f^{\circ n}(x) + 2^n) = g(f^{\circ n}(x))

Chaque terme de la série est $1$ -périodique, donc $\phi$ est $1$ -périodique.

Conclusion : La fonction $h$ définie par $h(x) = x + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{g(f^{\circ n}(x))}{2^{n+1}}$ répond au problème.

\boxed{h(x) = x + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(f^{\circ n}(x)) - 2f^{\circ n}(x)}{2^{n+1}}}

Oublier de vérifier que la périodicité est bien transmise à la somme de la série via la structure de f.

Une équation du type point fixe fonctionnel se résout souvent par une série de fonctions itérées sous réserve de convergence.