Divergence des zéros d'une suite de fonctions

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ une fonction continue ne s'annulant pas, telle que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ , $f(x) > 0$ .

On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ continues de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ qui converge vers $f$ uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}^+$ .

On suppose que pour chaque entier $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ possède au moins un zéro, que l'on note $x_n$ .

Déterminer la limite de la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

1.

Procéder par l'absurde en supposant que la suite $(x_n)$ n'est pas divergente vers $+\infty$ .

2.

Utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass pour extraire une sous-suite convergente si la suite est bornée.

3.

Exploiter la convergence uniforme sur un segment bien choisi pour aboutir à une contradiction avec l'hypothèse $f > 0$ .

Idées clés

•

Raisonnement par l'absurde.

•

Propriété de compacité (théorème de Bolzano-Weierstrass).

•

Inégalité triangulaire pour lier la convergence de la suite de fonctions et la convergence des antécédents.

Résolution.

Supposons par l'absurde que la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne tende pas vers $+\infty$ .

Par définition, cela signifie qu'il existe un réel $M > 0$ et une sous-suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ tels que :

\forall n \in \mathbb{N},   0 \leq x_{\varphi(n)} \leq M

La suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est donc une suite bornée de réels. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente.

Il existe donc une application $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante et un réel $\ell \in [0, M]$ tels que :

\lim_{n \to +\infty} x_{\varphi(\psi(n))} = \ell

Pour simplifier les notations, posons $\sigma = \varphi \circ \psi$ . On a donc une sous-suite $(x_{\sigma(n)})$ qui converge vers $\ell \in \mathbb{R}^+$ .

Considérons le segment $K = [0, M]$ . Par hypothèse, la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$ . Puisque pour tout $n$ , $x_{\sigma(n)} \in K$ et $\ell \in K$ , nous pouvons écrire l'inégalité suivante :

|f_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)}) - f(\ell)| \leq |f_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)}) - f(x_{\sigma(n)})| + |f(x_{\sigma(n)}) - f(\ell)|

Analysons chacun des deux termes du membre de droite :

Pour le premier terme, par convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur $K$ : $|f_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)}) - f(x_{\sigma(n)})| \leq \sup_{t \in K} |f_{\sigma(n)}(t) - f(t)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$
Pour le second terme, par continuité de la fonction limite $f$ au point $\ell$ : $|f(x_{\sigma(n)}) - f(\ell)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$

Par encadrement, on en déduit que :

\lim_{n \to +\infty} f_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)}) = f(\ell)

Or, par construction, pour tout $n$ , $x_{\sigma(n)}$ est un zéro de $f_{\sigma(n)}$ , donc $f_{\sigma(n)}(x_{\sigma(n)}) = 0$ . On en conclut que :

\boxed{f(\ell) = 0}

Ceci est en contradiction flagrante avec l'hypothèse selon laquelle la fonction $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}^+$ .

L'hypothèse initiale est donc fausse. La suite $(x_n)$ diverge nécessairement vers $+\infty$ .

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty }

Confondre convergence simple et convergence uniforme pour la limite de f_n(x_n).

Si f_n -> f uniformément et f n'a pas de zéro, alors les zéros de f_n divergent vers l'infini.