Convergence et minoration de cosinus

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels, décroissante et de limite nulle.

On suppose qu'il existe un réel $x$ tel que la série $\sum a_n |\cos(nx)|$ soit convergente.

Montrer que la série $\sum a_n$ est convergente.

1.

Utiliser l'inégalité classique $|\cos(\theta)| \geq \cos^2(\theta)$ pour linéariser l'expression.

2.

Exprimer $\cos^2(nx)$ en fonction de $\cos(2nx)$ .

3.

Distinguer les cas selon la valeur de $x$ et utiliser le critère d'Abel (ou règle de Dirichlet) pour la convergence de la série $\sum a_n \cos(2nx)$ .

Idées clés

•

Linéarisation du cosinus : $\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ .

•

Transformation d'Abel (Critère de Dirichlet) pour les séries trigonométriques.

•

Propriété des suites décroissantes tendant vers $0$ pour la comparaison de séries.

Résolution.

Commençons par utiliser une minoration classique de la valeur absolue du cosinus par son carré : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a :

|\cos(nx)| \geq \cos^2(nx)

En utilisant la formule de duplication du cosinus, nous obtenons :

\cos^2(nx) = \frac{1 + \cos(2nx)}{2}

D'après l'énoncé, $a_n \geq 0$ (car la suite décroit vers $0$ ). On peut donc multiplier l'inégalité par $a_n$ :

a_n |\cos(nx)| \geq \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} a_n \cos(2nx)

Isolons le terme $a_n$ pour étudier la somme partielle de la série $\sum a_n$ :

\boxed{ a_n \leq 2 a_n |\cos(nx)| - a_n \cos(2nx) }

Notons $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$ la somme partielle que nous souhaitons majorer. Par linéarité :

S_N \leq 2 \sum_{n=0}^N a_n |\cos(nx)| - \sum_{n=0}^N a_n \cos(2nx)

Par hypothèse, la série $\sum a_n |\cos(nx)|$ converge. Soit $C = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n |\cos(nx)|$ . L'inégalité devient :

S_N \leq 2C - \sum_{n=0}^N a_n \cos(2nx)

Étudions maintenant la nature de la série $\sum a_n \cos(2nx)$ . Deux cas se présentent :

Premier cas : $2x$ n'est pas un multiple de $2\pi$ . C'est-à-dire $x \notin \pi \mathbb{Z}$ .

Dans ce cas, la suite des sommes partielles de la série $\sum e^{i2nx}$ est bornée. En effet :

\left| \sum_{n=0}^N e^{i2nx} \right| = \left| \frac{1 - e^{i2(N+1)x}}{1 - e^{i2x}} \right| \leq \frac{2}{|1 - e^{i2x}|}

Puisque $(a_n)$ est une suite réelle décroissant vers $0$ , le critère de Dirichlet (ou transformation d'Abel) assure que la série $\sum a_n e^{i2nx}$ converge.

En prenant la partie réelle, la série $\sum a_n \cos(2nx)$ converge. Notons $L = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(2nx)$ . La suite des sommes partielles $S_N$ est alors majorée car :

S_N \leq 2C - \sum_{n=0}^N a_n \cos(2nx) \xrightarrow[N \to +\infty]{} 2C - L

La suite $(S_N)$ étant majorée et à termes positifs ( $a_n \geq 0$ ), elle converge.

Second cas : $2x$ est un multiple de $2\pi$ . Cela signifie que $x = k\pi$ ou $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Si $x = k\pi$ , alors $|\cos(nx)| = |\cos(nk\pi)| = 1$ . La série $\sum a_n |\cos(nx)|$ est exactement $\sum a_n$ , donc $\sum a_n$ converge par hypothèse.
Si $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , alors $|\cos(nx)| = |\cos(n\frac{\pi}{2} + nk\pi)| = |\cos(n\frac{\pi}{2})|$ . Le terme $|\cos(n\frac{\pi}{2})|$ vaut $1$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair. L'hypothèse de convergence porte donc sur la série $\sum a_{2k}$ . Comme $(a_n)$ décroît vers $0$ , on a $0 \leq a_{2k+1} \leq a_{2k}$ . Par comparaison de séries à termes positifs, la convergence de $\sum a_{2k}$ entraîne celle de $\sum a_{2k+1}$ . Ainsi, la série $\sum a_n = \sum a_{2k} + \sum a_{2k+1}$ converge.

Dans tous les cas, nous avons démontré le résultat :

\boxed{ \sum a_n \text{ converge.} }

Oublier de traiter le cas où l'angle est un multiple de Pi dans le critère d'Abel.

Utiliser le carré pour minorer une valeur absolue de fonction trigonométrique.