Série de fonctions et itérées du sinus

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \sin(x)$ . On note $f^{\circ n}$ la $n$ -ième itérée de la fonction sinus, définie par :

f^{\circ 1} = \sin   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}^*, \ f^{\circ (n+1)} = \sin \circ f^{\circ n}

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère la fonction $u_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

u_n(x) = (-1)^n f^{\circ n}(x)

Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ .

1.

Commencer par étudier la suite des itérées $(\sin^{\circ n}(x))$ en distinguant les cas selon la valeur de $x \in \mathbb{R}$ .

2.

Pour la convergence normale, déterminer la norme infinie $\|u_n\|_\infty$ et chercher un équivalent de cette quantité quand $n \to +\infty$ . On pourra poser $v_n = f^{\circ n}(\pi/2)$ .

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser le critère spécial des séries alternées (CSSA) et majorer le reste de la série.

Idées clés

•

Étude d'une suite récurrente $x_{n+1} = \sin(x_n)$ pour déterminer le comportement de $\|u_n\|_\infty$ .

•

Utilisation d'un développement asymptotique (méthode de la puissance de la suite) pour prouver la divergence de la série des normes.

•

Application du Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA) pour obtenir une majoration uniforme du reste.

1. Étude de la convergence normale.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . La fonction $f^{\circ n}$ est impaire car le sinus l'est. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $|f(x)| \leqslant \min(1, |x|)$ .

Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $|f^{\circ n}(x)| \leqslant 1$ , et l'image de $f^{\circ n}$ est incluse dans $[-1, 1]$ . Sur $[0, \pi/2]$ , la fonction $\sin$ est croissante et à valeurs dans $[0, 1] \subset [0, \pi/2]$ .

Ainsi, par croissance de $\sin$ sur $[0, \pi/2]$ , la fonction $f^{\circ n}$ est croissante sur $[0, \pi/2]$ . Comme $|\sin(x)| \leqslant 1 \leqslant \pi/2$ , on en déduit :

\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f^{\circ n}(x)| = f^{\circ n}\left(\frac{\pi}{2}\right)

Posons $v_n = f^{\circ n}(\frac{\pi}{2})$ . On a $v_1 = \sin(\pi/2) = 1$ et $v_{n+1} = \sin(v_n)$ . La suite $(v_n)$ est à valeurs dans $]0, 1]$ et comme $\sin(x) < x$ sur $]0, 1]$ , elle est strictement décroissante.

Elle converge donc vers l'unique point fixe de $\sin$ dans $[0, 1]$ , à savoir $0$ . Effectuons un développement asymptotique. On a $v_{n+1} = v_n - \frac{v_n^3}{6} + o(v_n^3)$ .

Cherchons $\alpha$ tel que $v_{n+1}^\alpha - v_n^\alpha$ ait une limite finie non nulle :

v_{n+1}^{-2} - v_n^{-2} = v_n^{-2} \left( 1 - \frac{v_n^2}{6} + o(v_n^2) \right)^{-2} - v_n^{-2}

v_{n+1}^{-2} - v_n^{-2} = v_n^{-2} \left( 1 + \frac{1}{3}v_n^2 + o(v_n^2) \right) - v_n^{-2} = \frac{1}{3} + o(1)

D'après le théorème de l'isobarycentre (ou lemme de Cesàro), on en déduit $v_n^{-2} \sim \frac{n}{3}$ , soit :

\boxed{\|u_n\|_\infty \sim \sqrt{\frac{3}{n}}}

Puisque la série de Riemann $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, on conclut :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}.}

2. Étude de la convergence uniforme.

Fixons $x \in \mathbb{R}$ . La série $\sum u_n(x) = \sum (-1)^n f^{\circ n}(x)$ est une série alternée si $f^{\circ 1}(x) \neq 0$ . En effet, le signe de $f^{\circ n}(x)$ est constant pour tout $n \geqslant 1$ (si $x \in ]0, \pi]$ , $\sin(x) > 0$ et tous les itérés sont positifs).

Vérifions les hypothèses du CSSA pour la suite $a_n(x) = |f^{\circ n}(x)|$ :

La suite $(a_n(x))$ est décroissante car $|\sin(t)| \leqslant |t|$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ .
La suite $(a_n(x))$ converge vers $0$ car $0$ est l'unique point fixe attracteur de sinus.

D'après le CSSA, la série converge simplement sur $\mathbb{R}$ . Notons $R_n(x)$ son reste d'ordre $n$ . Le CSSA fournit la majoration suivante :

\forall x \in \mathbb{R}, \ |R_n(x)| \leqslant |u_{n+1}(x)| = a_{n+1}(x)

En passant à la borne supérieure sur $\mathbb{R}$ , on obtient :

\|R_n\|_\infty \leqslant \|u_{n+1}\|_\infty

Or, nous avons montré précédemment que $\|u_{n+1}\|_\infty = v_{n+1} \to 0$ quand $n \to +\infty$ . Ainsi, $\|R_n\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}.}

Confondre convergence normale et convergence uniforme pour une série alternée.

Le reste d'une série alternée est majoré par la valeur absolue de son premier terme négligé.