Série d'intégrales et convergence uniforme

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont le terme général est défini par l'intégrale suivante :

u_{n} = \int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{t^{2} \sin (t)}{1+t^{3}}   dt

Étudier la nature de la série numérique $\sum u_n$ .
Déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
On définit la fonction $F$ par la relation : $F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} e^{n x}$ Déterminer l'ensemble de définition de $F$ et démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur cet ensemble.

1.

Pour la question 1, effectuer un changement de variable $t = n\pi + x$ pour faire apparaître une série alternée.

2.

Pour l'équivalent, utiliser le théorème de convergence dominée ou une étude directe sur l'intervalle $[0, \pi]$ après décalage.

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser la majoration du reste d'une série satisfaisant le critère spécial des séries alternées.

Idées clés

•

Changement de variable pour l'étude du signe (alternance).

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA).

•

Majoration du reste pour la convergence uniforme.

1. Étude de la nature de la série.

Effectuons le changement de variable $t = x + n\pi$ . On obtient :

u_n = \int_{0}^{\pi} \frac{(x+n\pi)^2 \sin(x+n\pi)}{1+(x+n\pi)^3}   dx

Comme $\sin(x+n\pi) = (-1)^n \sin(x)$ , nous pouvons écrire :

u_n = (-1)^n \int_{0}^{\pi} \frac{(x+n\pi)^2}{1+(x+n\pi)^3} \sin(x)   dx

Posons $v_n = |u_n| = \int_{0}^{\pi} f(x+n\pi) \sin(x) dx$ avec $f(t) = \frac{t^2}{1+t^3}$ .

La fonction $f$ est dérivable et $f'(t) = \frac{2t-t^4}{(1+t^3)^2}$ , ce qui est négatif pour $t \geq \sqrt[3]{2}$ . Ainsi, pour $n \geq 1$ , la suite $(f(x+n\pi))_n$ est décroissante pour tout $x \in [0, \pi]$ .

Par intégration, la suite $(v_n)$ est décroissante et tend vers $0$ par convergence dominée. D'après le critère spécial des séries alternées :

\boxed{\sum u_n \text{ converge.}}

2. Recherche d'un équivalent.

Reprenons l'expression de $v_n$ :

v_n = \int_{0}^{\pi} \frac{(n\pi + x)^2}{1 + (n\pi + x)^3} \sin(x)   dx

Pour $x \in [0, \pi]$ , on a l'équivalence suivante lorsque $n \to \infty$ :

\frac{(n\pi + x)^2}{1 + (n\pi + x)^3} \sim \frac{n^2\pi^2}{n^3\pi^3} = \frac{1}{n\pi}

Plus précisément, la fonction $g_n(x) = \frac{n\pi(n\pi + x)^2}{1 + (n\pi + x)^3}$ converge uniformément vers $1$ sur $[0, \pi]$ . En intégrant, on obtient :

n\pi v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^\pi \sin(x)   dx = 2

On en déduit l'équivalent de $u_n$ :

\boxed{u_n \sim \frac{2(-1)^n}{n\pi}}

3. Domaine de définition et convergence uniforme de $F$ .

Soit $f_n(x) = u_n e^{nx}$ .

Cas $x > 0$ : D'après l'équivalent précédent, $|f_n(x)| \sim \frac{2 e^{nx}}{n\pi} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ . Le terme général ne tend pas vers $0$ , donc la série diverge grossièrement.

Cas $x \leq 0$ : Pour chaque $x \leq 0$ , la suite $(e^{nx})_n$ est positive, décroissante et de limite nulle (ou constante égale à 1 si $x=0$ ). Comme $(v_n)$ est positive, décroissante et de limite nulle, alors $|f_n(x)| = v_n e^{nx}$ l'est aussi.

La série $\sum f_n(x)$ vérifie le critère spécial des séries alternées pour tout $x \leq 0$ . Le domaine de définition est donc :

\boxed{D_F = ]-\infty, 0]}

Convergence uniforme : D'après les propriétés des séries alternées, le reste d'ordre $n$ est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé :

\forall x \in ]-\infty, 0],   |R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} f_k(x) \right| \leq |f_{n+1}(x)|

Comme $e^{(n+1)x} \leq 1$ pour tout $x \leq 0$ , on a :

\forall x \in \mathbb{R}^-,   |R_n(x)| \leq v_{n+1}

Comme $v_{n+1}$ ne dépend pas de $x$ et que $v_{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ , on conclut :

\boxed{\text{La série converge uniformément sur } \mathbb{R}^-.}

Vouloir démontrer la convergence normale alors qu'elle n'a pas lieu (série de type harmonique).

Utiliser la majoration du reste d'une série alternée pour prouver la convergence uniforme quand la convergence normale échoue.