Théorème d'Arzelà-Ascoli lipschitzien

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ avec $a < b$ . On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur $[a, b]$ à valeurs réelles.

On suppose que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est uniformément bornée : $\exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [a, b], |f_n(x)| \leq M$
Les fonctions $f_n$ sont toutes $1$ -lipschitziennes : $\forall n \in \mathbb{N}, \forall (x, y) \in [a, b]^2, |f_n(x) - f_n(y)| \leq |x - y|$

Démontrer que l'on peut extraire de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite qui converge uniformément sur le segment $[a, b]$ .

1.

Commencer par construire une sous-suite qui converge simplement sur un ensemble dénombrable dense de $[a, b]$ , par exemple $D = \mathbb{Q} \cap [a, b]$ , en utilisant le procédé diagonal de Cantor.

2.

Utiliser ensuite le caractère lipschitzien uniforme pour montrer que cette sous-suite est en réalité une suite de Cauchy pour la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$ sur $[a, b]$ .

3.

Pour $\epsilon > 0$ donné, subdiviser le segment $[a, b]$ en un nombre fini d'intervalles de longueur suffisamment petite.

Idées clés

•

Procédé diagonal de Cantor (extraction d'une sous-suite convergeant sur un ensemble dénombrable).

•

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ .

•

Argument en « $\epsilon/3$ » exploitant l'équicontinuïté (ici le caractère lipschitzien).

Étape 1 : Convergence simple sur un ensemble dénombrable dense.

Soit $D = \{q_k \mid k \in \mathbb{N}\}$ une énumération des nombres rationnels contenus dans $[a, b]$ . Cet ensemble est dénombrable et dense dans $[a, b]$ .

La suite réelle $(f_n(q_0))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée par $M$ . Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une première extractrice $\phi_0$ telle que $(f_{\phi_0(n)}(q_0))_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

De même, la suite $(f_{\phi_0(n)}(q_1))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée, donc il existe une extractrice $\phi_1$ telle que $(f_{\phi_0 \circ \phi_1(n)}(q_1))_{n \in \mathbb{N}}$ converge. On remarque que la convergence en $q_0$ est préservée.

Par récurrence, on construit une suite d'extractrices. On pose alors $\psi(n)$ le terme diagonal. La suite $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers une limite notée $f$ en tout point de $D$ .

Étape 2 : Preuve de la convergence uniforme.

Montrons que $(f_{\psi(n)})$ est une suite de Cauchy pour la norme $\| \cdot \|_\infty$ . Soit $\epsilon > 0$ .

Puisque les fonctions sont $1$ -lipschitziennes, pour tout $x, y \in [a, b]$ et tout $n \in \mathbb{N}$ :

|f_{\psi(n)}(x) - f_{\psi(n)}(y)| \leq |x - y|

On choisit un entier $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $\frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{3}$ . On découpe $[a, b]$ en petits segments de taille inférieure à $1/N$ . Par densité, on peut choisir un nombre fini de points $d_1, \dots, d_p \in D$ tels que :

[a, b] \subset \bigcup_{j=1}^p \left] d_j - \frac{\epsilon}{3}, d_j + \frac{\epsilon}{3} \right[

Comme la suite converge en chaque $d_j$ , il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n, m \geq n_0$ et pour tout $j \in \{1, \dots, p\}$ :

|f_{\psi(n)}(d_j) - f_{\psi(m)}(d_j)| < \frac{\epsilon}{3}

Soit maintenant $x \in [a, b]$ . Il existe $j \in \{1, \dots, p\}$ tel que $|x - d_j| < \frac{\epsilon}{3}$ . Par l'inégalité triangulaire :

|f_{\psi(n)}(x) - f_{\psi(m)}(x)| \leq |f_{\psi(n)}(x) - f_{\psi(n)}(d_j)| + |f_{\psi(n)}(d_j) - f_{\psi(m)}(d_j)| + |f_{\psi(m)}(d_j) - f_{\psi(m)}(x)|

En utilisant le caractère $1$ -lipschitzien pour le premier et le troisième terme :

|f_{\psi(n)}(x) - f_{\psi(m)}(x)| < |x - d_j| + \frac{\epsilon}{3} + |d_j - x|

D'où :

|f_{\psi(n)}(x) - f_{\psi(m)}(x)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon

Ce résultat étant vrai pour tout $x$ , on en déduit :

\forall n, m \geq n_0,   \|f_{\psi(n)} - f_{\psi(m)}\|_\infty \leq \epsilon

Conclusion.

La suite $(f_{\psi(n)})$ est de Cauchy dans l'espace complet $(\mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}), \| \cdot \|_\infty)$ .

\boxed{\text{La suite } (f_{\psi(n)}) \text{ converge uniformément sur } [a, b].}

Vouloir extraire point par point sur un ensemble non dénombrable.

La combinaison 'procédé diagonal + argument d'équicontinuïté' permet de transformer la convergence simple en convergence uniforme.