Probabilité de coprimalité et série de Möbius

Résolution.

1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Si $k=1$, la somme se réduit à $\mu(1) = 1$. Si $k > 1$, on note $k = p_1^{\alpha_1} \dots p_m^{\alpha_m}$ sa décomposition en facteurs premiers. Les diviseurs $d$ de $k$ pour lesquels $\mu(d) \neq 0$ sont les produits de nombres premiers distincts choisis parmi $\{p_1, \dots, p_m\}$. Ainsi, en regroupant les diviseurs par le nombre $j$ de facteurs premiers :
   $$\sum_{d|k} \mu(d) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} (-1)^j = (1-1)^m = 0$$
   On en déduit le résultat fondamental :
   $$\boxed{ \sum_{d|k} \mu(d) = \delta_{k,1} = \begin{cases} 1 & \text{si } k=1$$
   0 & \text{si } k > 1 \end{cases} }

2. Par définition, $n^2 r_n$ est le nombre de couples $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ tels que $\text{pgcd}(i, j) = 1$. En utilisant le résultat de la question précédente :
   $$n^2 r_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left( \sum_{d | \text{pgcd}(i,j)} \mu(d) \right)$$
   On intervertit les sommes. Le diviseur $d$ peut varier de 1 à $n$. Pour un $d$ fixé, la condition $d | \text{pgcd}(i,j)$ équivaut à $d|i$ et $d|j$. Le nombre d'entiers $i \in \{1, \dots, n\}$ multiples de $d$ est exactement $\lfloor n/d \rfloor$. Il vient alors :
   $$n^2 r_n = \sum_{d=1}^n \mu(d) \sum_{\substack{1 \le i \le n$$
   d|i}} \sum_{\substack{1 \le j \le n
   d|j}} 1 = \sum_{d=1}^n \mu(d) \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor^2
   En divisant par $n^2$, on obtient bien :
   $$\boxed{ r_n = \frac{1}{n^2} \sum_{d=1}^n \mu(d) \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor^2 }$$

3. Réécrivons l'expression de $r_n$ :
   $$r_n = \sum_{d=1}^n \frac{\mu(d)}{d^2} \left( \frac{d}{n} \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor \right)^2$$
   Soit $f_n(d) = \frac{\mu(d)}{d^2} \left( \frac{d}{n} \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor \right)^2$ pour $d \le n$ et $0$ sinon. Pour tout $d \in \mathbb{N}^*$ fixé, $\frac{d}{n} \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \to 1$ quand $n \to +\infty$. Ainsi, $f_n(d) \xrightarrow{n \to \infty} \frac{\mu(d)}{d^2}$. De plus, comme $|\lfloor x \rfloor| \le |x|$, on a la domination :
   $$|f_n(d)| \le \frac{1}{d^2}$$
   La série $\sum \frac{1}{d^2}$ converge. Par le théorème de convergence dominée pour les séries (ou par un argument direct de découpage), on a :
   $$\lim_{n \to +\infty} r_n = \sum_{d=1}^{+\infty} \frac{\mu(d)}{d^2}$$
   Or, le produit de Cauchy des séries absolument convergentes $\sum \frac{\mu(d)}{d^2}$ et $\sum \frac{1}{k^2}$ donne :
   $$\left( \sum_{d=1}^{+\infty} \frac{\mu(d)}{d^2} \right) \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \right) = \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^2} \left( \sum_{d|m} \mu(d) \right) = 1$$
   D'après la question 1, seule la contribution $m=1$ est non nulle. Ainsi :
   $$\sum_{d=1}^{+\infty} \frac{\mu(d)}{d^2} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}$$
   On conclut :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} r_n = \frac{6}{\pi^2} }$$