Moments et nullité d'une fonction continue

On s'intéresse à la détermination d'une fonction ou d'un polynôme à travers ses moments sur le segment $[0, 1]$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$ un polynôme de degré au plus $n$ . On suppose que pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ , on a : $\int_{0}^{1} t^{k} P(t) \mathrm{d}t = 0$ Démontrer que le polynôme $P$ est nécessairement nul.
Soit $f \in \mathcal{C}^{0}([0, 1], \mathbb{R})$ une fonction continue sur $[0, 1]$ . On suppose que pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ , on a : $\int_{0}^{1} t^{n} f(t) \mathrm{d}t = 0$ Montrer que $f$ est la fonction nulle sur $[0, 1]$ .

1.

Pour la question 1, exploiter la linéarité de l'intégrale pour calculer $\int_0^1 P(t)^2 \mathrm{d}t$ en exprimant $P$ dans la base canonique.

2.

Pour la question 2, utiliser le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass pour approcher $f$ par une suite de polynômes pour la norme de la convergence uniforme.

Idées clés

•

Utilisation de la structure d'espace préhilbertien sur $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ .

•

Lien entre l'orthogonalité à une base et la nullité d'un vecteur.

•

Densité des polynômes dans l'espace des fonctions continues (Théorème de Stone-Weierstrass).

Résolution.

Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ . On peut décomposer $P$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^n)$ : $P = \sum_{j=0}^n a_j X^j$ Considérons l'intégrale du carré de $P$ sur $[0, 1]$ . Par linéarité de l'intégrale, on a : $\int_0^1 P(t)^2 \mathrm{d}t = \int_0^1 P(t) \left( \sum_{j=0}^n a_j t^j \right) \mathrm{d}t = \sum_{j=0}^n a_j \left( \int_0^1 t^j P(t) \mathrm{d}t \right)$ Par hypothèse, pour tout $j \in \{0, \dots, n\}$ , l'intégrale $\int_0^1 t^j P(t) \mathrm{d}t$ est nulle. On en déduit immédiatement : $\int_0^1 P(t)^2 \mathrm{d}t = 0$ L'application $t \mapsto P(t)^2$ est continue et positive sur $[0, 1]$ . Comme son intégrale sur le segment est nulle, la fonction est identiquement nulle sur $[0, 1]$ . Un polynôme ayant une infinité de racines est nul, donc : $\boxed{P = 0}$
Soit $f \in \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{R})$ . L'hypothèse implique que $f$ est orthogonale à tous les monômes $t^n$ . Par linéarité de l'intégrale, $f$ est orthogonale à tout polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ : $\forall Q \in \mathbb{R}[X], \int_0^1 f(t)Q(t) \mathrm{d}t = 0$
D'après le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ . Cela signifie que :
$\lim_{n \to +\infty} \|f - P_n\|_{\infty} = 0$
Évaluons maintenant l'intégrale de $f^2$ sur $[0, 1]$ en utilisant cette suite :
$\int_0^1 f(t)^2 \mathrm{d}t = \int_0^1 f(t) \big( f(t) - P_n(t) \big) \mathrm{d}t + \int_0^1 f(t) P_n(t) \mathrm{d}t$
D'après la remarque précédente, la seconde intégrale est nulle car $P_n$ est un polynôme. On utilise alors l'inégalité triangulaire et la majoration par la norme infinie :
$\left| \int_0^1 f(t)^2 \mathrm{d}t \right| = \left| \int_0^1 f(t) \big( f(t) - P_n(t) \big) \mathrm{d}t \right| \leq \int_0^1 |f(t)| \cdot |f(t) - P_n(t)| \mathrm{d}t$ D'où : $\left| \int_0^1 f(t)^2 \mathrm{d}t \right| \leq \|f\|_{\infty} \cdot \|f - P_n\|_{\infty}$
Par passage à la limite quand $n \to +\infty$ , le membre de droite tend vers $0$ . Par conséquent :
$\boxed{\int_0^1 f(t)^2 \mathrm{d}t = 0}$
Comme précédemment, $f$ est continue et $f^2 \geq 0$ , donc $f^2$ est nulle, ce qui implique :
$\boxed{f = 0}$

Confondre convergence uniforme et passage direct à la limite sous l'intégrale sans majoration propre.

La famille des polynômes est dense dans l'espace des fonctions continues sur un segment pour la norme uniforme.