Analyse d'une série entière et intégration terme à terme

Soit la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

u_n(t) = \frac{(-1)^n t^n}{\sqrt{1 + n^2}}

On note

f

la fonction définie par la somme

f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)

là où elle converge.

Déterminer précisément l'ensemble de définition de la fonction $f$ .
Justifier que la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur tout segment inclus dans $[0, 1[$ .
On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_n = \int_0^1 |u_n(t)| dt$ . Déterminer un équivalent simple de $v_n$ quand $n \to +\infty$ .
En déduire la nature de la série numérique $\sum v_n$ .
Montrer que $f$ est intégrable sur $[0, 1]$ et exprimer l'intégrale $\int_0^1 f(t) dt$ sous forme d'une série numérique.

1.

Pour le domaine de définition, utiliser la règle de d'Alembert pour le rayon de convergence, puis étudier spécifiquement les cas $t=1$ et $t=-1$ .

2.

Pour la convergence normale, majorer le reste par la borne supérieure du segment.

3.

Pour l'intégration terme à terme, utiliser le théorème de convergence pour les séries de fonctions sur un intervalle quelconque (vérifier la convergence de $\sum \int |u_n|$ ).

Idées clés

•

Rayon de convergence et étude aux bornes (Leibniz).

•

Convergence normale pour les séries entières sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence.

•

Théorème d'intégration terme à terme pour une série de fonctions.

Résolution.

Détermination du domaine de définition. Posons $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+n^2}}$ . Pour $t \neq 0$ , étudions le rapport : $\left| \frac{a_{n+1} t^{n+1}}{a_n t^n} \right| = \sqrt{\frac{1+n^2}{1+(n+1)^2}} |t| \xrightarrow[n \to +\infty]{} |t|$ D'après la règle de d'Alembert, le rayon de convergence de la série entière est $R=1$ . Si $t=1$ , la série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+n^2}}$ est une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît vers $0$ . Elle converge d'après le critère spécial des séries alternées. Si $t=-1$ , le terme général est $u_n(-1) = \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \sim \frac{1}{n}$ . C'est le terme général d'une série divergente (série de Riemann divergente). $\boxed{D_f = ]-1, 1]}$
Convergence normale sur tout segment $[a, b] \subset [0, 1[$ . Soit $x \in [a, b]$ . Comme $0 \le a \le x \le b < 1$ , on a : $|u_n(x)| = \frac{x^n}{\sqrt{1+n^2}} \le \frac{b^n}{\sqrt{1+n^2}}$ Soit $w_n = \frac{b^n}{\sqrt{1+n^2}}$ . Puisque $0 \le b < 1$ , la série $\sum w_n$ converge (comparaison avec une série géométrique). La série $\sum u_n$ converge donc normalement sur $[a, b]$ .
Équivalent de $v_n$ . Calculons explicitement $v_n$ : $v_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+n^2}} dt = \frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{(n+1)\sqrt{1+n^2}}$ En prenant les équivalents des facteurs au dénominateur : $\boxed{v_n \sim \frac{1}{n^2}}$
Nature de la série $\sum v_n$ . D'après l'équivalent précédent, $v_n$ est le terme général d'une série positive. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, on en déduit par comparaison : La série $\sum v_n$ est convergente.
Intégration terme à terme. Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme pour la série de fonctions $\sum u_n$ $\sum u_{n}$ sur l'intervalle $[0, 1[$ $[0, 1 [$ :
- Les fonctions $u_n$ sont continues (donc continues par morceaux) et intégrables sur $[0, 1[$ .
- La série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement vers $f$ sur $[0, 1[$ , et $f$ est continue.
- La série des intégrales des modules $\sum \int_0^1 |u_n(t)| dt = \sum v_n$ converge (d'après la question 4).
Les conditions sont remplies, donc $f$ $f$ est intégrable sur $[0, 1]$ $[0, 1]$ et on peut intervertir somme et intégrale :
$\int_0^1 f(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 u_n(t) dt$
D'où le résultat final :
$\boxed{\int_0^1 f(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)\sqrt{1+n^2}}}$

Oubli de l'étude des bornes du disque de convergence.

La convergence de la série des intégrales des modules permet l'intégration terme à terme.