Convergence d'une série à exposant logarithmique

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \sum_{k=1}^n x^{\lfloor \ln(k) \rfloor}

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ .

1.

Identifier la nature de la série de fonctions $\sum g_k$ où $g_k(x) = x^{\lfloor \ln k \rfloor}$ .

2.

Regrouper les termes de la somme par paquets d'indices $k$ tels que l'exposant $\lfloor \ln k \rfloor$ est constant.

3.

Déterminer le nombre d'entiers $k$ vérifiant $\lfloor \ln k \rfloor = p$ pour un entier $p$ fixé et en donner un équivalent.

4.

Utiliser les propriétés des séries entières pour conclure sur le rayon de convergence et la convergence uniforme sur les segments.

Idées clés

•

Partition de l'ensemble des indices par la valeur de la partie entière.

•

Comparaison de la série à une série entière.

•

Étude du reste pour la convergence uniforme.

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour que la suite $(f_n(x))$ converge, il est nécessaire que le terme général $x^{\lfloor \ln k \rfloor}$ tende vers $0$ lorsque $k \to +\infty$ . Comme $\lfloor \ln k \rfloor \to +\infty$ , cette condition impose immédiatement $|x| < 1$ .

Supposons désormais $|x| < 1$ . Pour chaque entier $k \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique entier $p \in \mathbb{N}$ tel que :

p \le \ln k < p+1 \iff e^p \le k < e^{p+1}

On pose $\alpha_p$ le nombre d'entiers $k$ tels que $\lfloor \ln k \rfloor = p$ . Ces entiers sont ceux de l'intervalle $[e^p, e^{p+1}[$ . D'après les propriétés de la partie entière, le nombre d'entiers dans un intervalle $[a, b[$ est donné par $\lceil b \rceil - \lceil a \rceil$ . On a plus simplement l'encadrement :

(e^{p+1} - e^p) - 1 < \alpha_p < (e^{p+1} - e^p) + 1

On en déduit l'équivalent :

\boxed{ \alpha_p \underset{p \to +\infty}{\sim} e^p (e-1) }

Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . Pour $n = \lfloor e^N \rfloor$ , la somme partielle s'écrit :

f_{\lfloor e^N \rfloor}(x) = \sum_{p=0}^{N-1} \alpha_p x^p + \text{terme résiduel}

La série $\sum \alpha_p x^p$ est, par comparaison, de même nature que la série entière $\sum (ex)^p$ . Cette dernière converge si et seulement si $|ex| < 1$ , c'est-à-dire $|x| < \frac{1}{e}$ .

Analyse de la convergence :

Si $|x| < \frac{1}{e}$ , la série $\sum \alpha_p x^p$ converge absolument. Pour un $n$ quelconque, en notant $P_n = \lfloor \ln n \rfloor$ , on a : $f_n(x) = \sum_{p=0}^{P_n-1} \alpha_p x^p + \beta_n x^{P_n}$ où $0 \le \beta_n \le \alpha_{P_n}$ . Comme $\alpha_{P_n} x^{P_n} \sim (e-1) (ex)^{P_n}$ et $|ex| < 1$ , le terme résiduel tend vers $0$ .
Si $x \ge \frac{1}{e}$ , le terme général $\alpha_p x^p$ ne tend pas vers $0$ , donc la série diverge.

L'ensemble de convergence simple est donc :

\boxed{ S = \left] -\frac{1}{e}, \frac{1}{e} \right[ }

2. Étude de la convergence uniforme.

Sur tout segment $[-a, a] \subset S$ : Soit $a \in [0, 1/e[$ . Pour tout $x \in [-a, a]$ , le reste de la série est majoré par : $|f(x) - f_n(x)| \le \sum_{k=n+1}^{+\infty} |x|^{\lfloor \ln k \rfloor} \le \sum_{p=P_n}^{+\infty} \alpha_p a^p$ Comme la série numérique $\sum \alpha_p a^p$ converge, son reste tend vers $0$ et ne dépend pas de $x$ . Il y a donc convergence uniforme sur tout segment de $S$ .
Sur l'intervalle $S$ tout entier : Étudions la différence $R_n(x) = f(x) - f_n(x)$ au voisinage de $1/e$ . Pour $x \in [0, 1/e[$ , on a : $R_n(x) \ge \sum_{p=P_n+1}^{+\infty} \alpha_p x^p \ge (e-1) \sum_{p=P_n+1}^{+\infty} (ex)^p - \sum_{p=P_n+1}^{+\infty} x^p$ En utilisant la somme d'une série géométrique : $R_n(x) \ge (e-1) \frac{(ex)^{P_n+1}}{1 - ex} - \frac{x^{P_n+1}}{1-x}$ À $n$ fixé, lorsque $x \to (1/e)^-$ , le terme $\frac{1}{1-ex}$ tend vers $+\infty$ . Par conséquent, $\sup_{x \in S} |f(x) - f_n(x)| = +\infty$ . La convergence n'est pas uniforme sur $S$ .

Confondre la structure de la série avec une série entière classique en k.

Technique de sommation par paquets pour les fonctions composées avec une partie entière.