Caractérisation d'une solution d'équation fonctionnelle

Résolution.

1. Étude de la fonction $u$. Soit $x > 0$ fixé. On a $u_n(x) = \dfrac{x}{n(n+x)}$. À $x$ fixé, $u_n(x) \sim \dfrac{x}{n^2}$ quand $n \to +\infty$. La série $\sum u_n(x)$ converge donc absolument par comparaison à une série de Riemann convergente. Pour la classe $\mathcal{C}^\infty$, soit $k \in \mathbb{N}^*$. La fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et :
   $$\forall x \in \mathbb{R}_+^*,   u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k+1} k!}{(n+x)^{k+1}}$$
   Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a $|u_n^{(k)}(x)| \le \dfrac{k!}{(n+a)^{k+1}}$. Comme $k \ge 1$, la série de fonctions $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Par théorème de dérivation sous le signe somme, $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur tout intervalle $[a, +\infty[$, donc sur $\mathbb{R}_+^*$. Vérifions que $u \in E$ : Croissance : On calcule la dérivée :
   $$\forall x > 0,   u'(x) = \frac{1}{x^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)^2}$$
   Chaque terme est strictement positif, donc $u'(x) > 0$ et $u$ est strictement croissante. Valeur en 1 :
   $$u(1) = -1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$
   La somme est télescopique et vaut $1$. D'où :
   $$\boxed{u(1) = -1 + 1 = 0}$$
   Équation fonctionnelle :
   $$u(x+1) - u(x) = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( u_n(x+1) - u_n(x) \right)$$
   Or, $u_n(x+1) - u_n(x) = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x+1} \right) - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} \right) = \frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+x+1}$. En sommant de $n=1$ à $N$ :
   $$\sum_{n=1}^N (u_n(x+1) - u_n(x)) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{N+1+x} \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{1}{x+1}$$
   Ainsi, $u(x+1) - u(x) = -\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{1}{x}$.
2. Étude de l'écart $\delta = f - g$.
   1. Périodicité :
      $$\delta(x+1) = f(x+1) - g(x+1) = \left(f(x) + \frac{1}{x}\right) - \left(g(x) + \frac{1}{x}\right) = \delta(x)$$
      La fonction $\delta$ est donc bien $1$-périodique sur $\mathbb{R}_+^*$.

   2. Valeurs aux entiers : Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1) - f(k))$. Comme $f(1)=0$ et $f(k+1)-f(k) = 1/k$, on a :
      $$\boxed{f(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} = H_{n-1}}$$
      (avec la convention $H_0 = 0$).

   3. Limite en l'infini : Soit $x \ge 1$. Posons $n = \lfloor x \rfloor$. On a $n \le x < n+1$. Par croissance de $f$ : $f(n) \le f(x) \le f(n+1)$, soit $H_{n-1} \le f(x) \le H_n$. De même pour $g \in E$ : $H_{n-1} \le g(x) \le H_n$. On en déduit que $|\delta(x)| = |f(x) - g(x)| \le H_n - H_{n-1} = \dfrac{1}{n}$. Comme $n = \lfloor x \rfloor \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ :
      $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \delta(x) = 0}$$

3. Conclusion sur l'ensemble $E$. La fonction $\delta$ est $1$-périodique et tend vers $0$ en $+\infty$. Pour tout $x > 0$ et tout $k \in \mathbb{N}$, $\delta(x) = \delta(x+k)$. En faisant tendre $k$ vers $+\infty$, on obtient $\delta(x) = 0$ pour tout $x > 0$. Ainsi $f = g$. L'ensemble $E$ contient au plus un élément. Comme $u \in E$, on conclut :
   $$\boxed{E = \{u\}}$$