Rayon de convergence d'une suite d'intégrales

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Posons $f_n : x \mapsto \frac{1}{(\cosh x)^n}$. La fonction $f_n$ est continue sur $[0, +\infty[$. Au voisinage de $+\infty$, on a $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \sim \frac{e^x}{2}$. Par conséquent :
   $$f_n(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} 2^n e^{-nx}$$
   Comme $n \ge 1$, la fonction $x \mapsto e^{-nx}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale $u_n$ converge absolument.
   $$\boxed{u_n \text{ est bien définie pour tout } n \in \mathbb{N}^*}$$

2. Étudions la limite de la suite $(u_n)$ par convergence dominée. Pour tout $x > 0$, comme $\cosh(x) > 1$, on a :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(\cosh x)^n} = 0$$
   Pour $x = 0$, $f_n(0) = 1$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle presque partout sur $[0, +\infty[$. De plus, pour tout $n \ge 1$ et tout $x \in [0, +\infty[$, on a $\cosh(x) \ge 1$, donc :
   $$|f_n(x)| \le f_1(x) = \frac{1}{\cosh x}$$
   Or, nous avons montré à la question 1 que $f_1$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. D'après le théorème de convergence dominée :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^{+\infty} 0   \mathrm{d}x = 0$$
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

3. Déterminons le rayon de convergence $R$. Puisque la suite $(u_n)$ tend vers 0, elle est bornée. D'après le lemme de Abel, on en déduit que :
   $$R \ge 1$$
   Cherchons maintenant une minoration de $u_n$. Pour tout $x \ge 0$, on a $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \le \frac{e^x + e^x}{2} = e^x$. Ainsi, par décroissance de la fonction puissance négative :
   $$\forall x \ge 0,   \frac{1}{(\cosh x)^n} \ge \frac{1}{(e^x)^n} = e^{-nx}$$
   En intégrant cette inégalité sur $[0, +\infty[$, on obtient :
   $$u_n \ge \int_0^{+\infty} e^{-nx}   \mathrm{d}x = \left[ \frac{e^{-nx}}{-n} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{n}$$
   Comme la série $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série de Riemann), par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ diverge également. La série entière $\sum u_n z^n$ diverge pour $z=1$, ce qui implique :
   $$R \le 1$$
   Par double inégalité, on conclut :
   $$\boxed{R = 1}$$