Somme d'une série d'intégrales de Wallis alternées

On considère la suite d'intégrales $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)   dt

Étudier la nature et déterminer la somme de la série de terme général $u_n = (-1)^n I_n$ .

1.

On pourra introduire les sommes partielles de la série et les exprimer sous forme d'intégrale.

2.

Utiliser le théorème de convergence dominée pour justifier le passage à la limite sous le signe intégral.

3.

Pour le calcul de l'intégrale finale, on utilisera l'identité trigonométrique $1 + \cos(t) = 2 \cos^2(t/2)$ .

Idées clés

•

Interversion série-intégrale via le théorème de convergence dominée (TCD) sur les sommes partielles.

•

Étude de la convergence simple et recherche d'une fonction dominante intégrable.

•

Utilisation des primitives usuelles de la fonction $\frac{1}{\cos^2}$ .

Résolution.

Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0, \pi/2]$ , $f_n(t) = (-1)^n \cos^n(t)$ . Nous cherchons la nature et la somme de la série $\sum \int_0^{\pi/2} f_n(t) dt$ .

Notons $S_n$ la $n$ -ième somme partielle de la série de fonctions $\sum f_n$ . Pour tout $t \in ]0, \pi/2]$ , on a $\cos(t) \in [0, 1[$ , d'où :

S_n(t) = \sum_{k=0}^n (-\cos t)^k = \frac{1 - (-\cos t)^{n+1}}{1 + \cos t}

Convergence simple : Pour tout $t \in ]0, \pi/2]$ , $|\cos t| < 1$ , donc $(-\cos t)^{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ . La suite de fonctions $(S_n)$ converge donc simplement sur $]0, \pi/2]$ vers la fonction $S$ définie par : $S(t) = \frac{1}{1 + \cos t}$ Cette fonction $S$ est continue sur $]0, \pi/2]$ . Elle est également intégrable sur $]0, \pi/2]$ car elle est continue sur le segment $[0, \pi/2]$ .
Domination : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in ]0, \pi/2]$ , nous pouvons majorer la valeur absolue de $S_n(t)$ : $|S_n(t)| = \left| \frac{1 - (-\cos t)^{n+1}}{1 + \cos t} \right| \le \frac{1 + |\cos t|^{n+1}}{1 + \cos t} \le \frac{2}{1 + \cos t}$ Posons $g(t) = \frac{2}{1 + \cos t}$ . La fonction $g$ est continue sur $[0, \pi/2]$ , donc elle est intégrable sur cet intervalle. L'hypothèse de domination est vérifiée.
Application du théorème de convergence dominée : D'après le TCD, la suite $(\int_0^{\pi/2} S_n(t) dt)$ converge vers $\int_0^{\pi/2} S(t) dt$ . Cela prouve que la série $\sum u_n$ converge et que : $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_0^{\pi/2} \cos^n(t) dt = \int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1 + \cos t}$
Calcul de la somme : En utilisant l'identité $1 + \cos(t) = 2 \cos^2(t/2)$ , on obtient : $\int_0^{\pi/2} \frac{dt}{2 \cos^2(t/2)} = \left[ \tan\left( \frac{t}{2} \right) \right]_0^{\pi/2}$ En évaluant aux bornes : $\tan\left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$

Le résultat final est donc :

\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)   dt = 1 }

Absence de convergence uniforme au voisinage de 0 empêchant l'utilisation directe du théorème d'intégration terme à terme.

Utilisation du TCD sur les sommes partielles pour justifier l'interversion somme-intégrale.