Série de fractions rationnelles et constante e

Résolution.

1. Existence de $F(x)$ : Soit $x > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, les facteurs $(x+k)$ sont strictement positifs. On a :
   $$f_n(x) = \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)}$$
   On observe que pour $n \ge 1$, $f_n(x) \le \frac{1}{n!}$. Comme la série $\sum \frac{1}{n!}$ converge vers $e$, par comparaison de séries à termes positifs, $F(x)$ est bien définie.

   Existence de $G(x)$ : Pour $x > 0$, on a $\left| \frac{(-1)^n}{n!(x+n)} \right| \le \frac{1}{n! \cdot x}$. La série définissant $G(x)$ est donc absolument convergente pour tout $x > 0$.

   $$\boxed{F \text{ et } G \text{ sont définies sur } \mathbb{R}_+^*}$$

2. En testant des valeurs (par exemple pour $x=1$, $F(1) = \sum \frac{1}{(n+1)!} = e-1$ et $G(1) = \sum \frac{(-1)^n}{n!(n+1)} = \sum \frac{(-1)^n}{(n+1)!} = 1 - e^{-1}$), on remarque que le rapport semble être égal à la constante de Néper $e$.
   $$\boxed{\text{Conjecture : } F(x) = e \cdot G(x)}$$

3. 1. $f_n$ est une fraction rationnelle dont les pôles sont $\{0, -1, \dots, -n\}$. Ce sont des pôles simples. La théorie de la décomposition en éléments simples garantit l'existence des $\alpha_{i,n}$. Pour extraire $\alpha_{i,n}$, on multiplie $f_n(x)$ par $(x+i)$ et on fait tendre $x$ vers $-i$ :
      $$\alpha_{i,n} = \lim_{x \to -i} (x+i) f_n(x) = \prod_{k=0, k \neq i}^n \frac{1}{-i+k}$$
      En séparant le produit pour $k < i$ et $k > i$ :
      $$\alpha_{i,n} = \left( \prod_{k=0}^{i-1} \frac{1}{k-i} \right) \cdot \left( \prod_{k=i+1}^n \frac{1}{k-i} \right)$$
      Le premier bloc vaut $\frac{1}{(-i)(-i+1)\dots(-1)} = \frac{(-1)^i}{i!}$. Le second bloc vaut $\frac{1}{1 \cdot 2 \dots (n-i)} = \frac{1}{(n-i)!}$.
      $$\boxed{\alpha_{i,n} = \frac{(-1)^i}{i!(n-i)!}}$$

   2. On substitue la décomposition dans l'expression de $F(x)$ :
      $$F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!(n-i)!(x+i)}$$
      Il s'agit d'une série double. Pour intervertir les sommes, vérifions la convergence absolue. Posons $u_{i,n} = \frac{(-1)^i}{i!(n-i)!(x+i)}$. On a :
      $$\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{i=0}^n |u_{i,n}| = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!(n-i)!(x+i)} \le \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}$$
      On reconnaît le binôme : $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$.
      $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n! \cdot x} = \frac{e^2}{x} < +\infty$$
      L'interversion est donc licite par le théorème de Fubini pour les séries. On somme par colonnes ($i$ fixé) :
      $$F(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(-1)^i}{i!(x+i)} \sum_{n=i}^{+\infty} \frac{1}{(n-i)!}$$
      En posant le changement d'indice $k = n-i$ dans la somme interne :
      $$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = e$$
      D'où :
      $$F(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(-1)^i}{i!(x+i)} \cdot e = e \cdot G(x)$$
      $$\boxed{F(x) = e   G(x)}$$