Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Définition et continuité. Soit $x > 0$. Pour tout $n \geq 2$, on a :
   $$0 < u_n(x) \leq \frac{1}{1 \cdot 2 \dots n} = \frac{1}{n!}$$
   La série numérique $\sum \frac{1}{n!}$ converge (sa somme est $e-1$). Par comparaison, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument pour tout $x > 0$. Pour la continuité, soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a :
   $$|u_n(x)| = \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)} \leq \frac{1}{a(a+1)\dots(a+n)} = u_n(a)$$
   Comme la série numérique $\sum u_n(a)$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Chaque $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$, donc par convergence normale sur tout intervalle $[a, +\infty[$, $f$ est continue sur tout $[a, +\infty[$, donc sur $\mathbb{R}_+^*$.

2. Relation fonctionnelle. Soit $x > 0$. On isole le premier terme de la somme :
   $$f(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)\dots(x+n)}$$
   En factorisant par $1/x$ dans la somme :
   $$f(x) = \frac{1}{x} \left( 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)\dots(x+n)} \right)$$
   On effectue le changement d'indice $j = n-1$ dans la somme :
   $$f(x) = \frac{1}{x} \left( 1 + \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)\dots(x+j+1)} \right)$$
   On reconnaît l'expression de $f(x+1)$ dans la parenthèse :
   $$f(x) = \frac{1}{x} (1 + f(x+1))$$
   Ce que l'on peut aussi écrire sous la forme :
   $$\boxed{ f(x+1) = x f(x) - 1 }$$

3. Analyse asymptotique. En $+\infty$ : On a $f(x) = \frac{1}{x} + R(x)$ où $R(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$. Pour $x \geq 1$, $u_n(x) \leq \frac{1}{x(x+1)} \frac{1}{(n-1)!}$. Ainsi, $R(x) = O\left(\frac{1}{x^2}\right)$. On en déduit :
   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x} }$$

   En $0^+$ : D'après la relation $f(x) = \frac{1+f(x+1)}{x}$. Comme $f$ est continue en $1$, $\lim_{x \to 0} f(x+1) = f(1)$. Calculons $f(1)$ :

   $$f(1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!} = e - 1$$
   Alors $1 + f(x+1) \xrightarrow[x \to 0]{} 1 + (e-1) = e$. Par conséquent :
   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{e}{x} }$$

4. Étude des variations et courbe. Chaque fonction $u_n$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ comme inverse d'un produit de fonctions strictement croissantes et positives. En tant que somme de fonctions strictement décroissantes, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$. Synthèse pour le tracé :
   • Limite en $0^+$ : $+\infty$ (asymptote verticale $x=0$).
   • Limite en $+\infty$ : $0$ (asymptote horizontale $y=0$).
   • Valeur particulière : $f(1) = e-1 \approx 1,718$.
   • La courbe est convexe (chaque $u_n$ l'est).