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Composition et convergence uniforme

convergence uniformecontinuitéthéorème de HeinecompositionHeine

Soit DD une partie non vide de R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}. On considère une suite de fonctions (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} définies sur DD à valeurs dans un segment I=[a,b]I = [a, b] de R\mathbb{R}. On suppose que la suite (fn)(f_n) converge uniformément sur DD vers une fonction ff.

  1. Soit φ:I→C\varphi : I \to \mathbb{C} une application continue. Démontrer que la suite de fonctions (φ∘fn)(\varphi \circ f_n) converge uniformément sur DD vers φ∘f\varphi \circ f.
  2. On suppose maintenant que DD est un segment de R\mathbb{R} et que les fonctions fnf_n sont toutes continues sur DD. Soit φ:R→R\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue. Montrer que (φ∘fn)(\varphi \circ f_n) converge encore uniformément vers φ∘f\varphi \circ f sur DD.

1.

Pour la question 1, utiliser le théorème de Heine pour justifier que φ\varphi est uniformément continue sur le segment [a,b][a, b].

2.

Pour la question 2, justifier que l'image de ff et les images des fnf_n (à partir d'un certain rang) sont contenues dans un segment fixe de R\mathbb{R}.

Idées clés

•

Théorème de Heine (continuité implique continuité uniforme sur un compact).

•

Définition de la convergence uniforme avec le "ϵ\epsilon - δ\delta".

•

Bornitude des fonctions continues sur un segment.

Résolution.

  1. Soit ϵ>0\epsilon > 0. L'application φ\varphi est continue sur le segment I=[a,b]I = [a, b]. D'après le théorème de Heine, φ\varphi est uniformément continue sur II. Il existe donc δ>0\delta > 0 tel que :
    ∀(u,v)∈I2,∣u−v∣<δ  ⟹  ∣φ(u)−φ(v)∣<ϵ\forall (u, v) \in I^2,   |u - v| < \delta \implies |\varphi(u) - \varphi(v)| < \epsilon
    Par hypothèse, (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur DD. Pour ce δ\delta précédemment trouvé, il existe un rang N∈NN \in \mathbb{N} tel que :
    ∀n≥N,∀x∈D,∣fn(x)−f(x)∣<δ\forall n \geq N,   \forall x \in D,   |f_n(x) - f(x)| < \delta
    Comme les fonctions fnf_n sont à valeurs dans II, par passage à la limite simple, ff est aussi à valeurs dans II. Ainsi, pour tout x∈Dx \in D, le couple (fn(x),f(x))(f_n(x), f(x)) appartient à I2I^2. En combinant les deux résultats, pour tout n≥Nn \geq N et pour tout x∈Dx \in D :
    ∣fn(x)−f(x)∣<δ  ⟹  ∣φ(fn(x))−φ(f(x))∣<ϵ|f_n(x) - f(x)| < \delta \implies |\varphi(f_n(x)) - \varphi(f(x))| < \epsilon
    Ceci montre que :
    ∀n≥N,sup⁡x∈D∣φ(fn(x))−φ(f(x))∣≤ϵ\forall n \geq N,   \sup_{x \in D} |\varphi(f_n(x)) - \varphi(f(x))| \leq \epsilon
    (φ∘fn) converge uniformeˊment vers φ∘f sur D\boxed{ (\varphi \circ f_n) \text{ converge uniformément vers } \varphi \circ f \text{ sur } D }

  2. Puisque DD est un segment et que les fnf_n sont continues et convergent uniformément vers ff, alors ff est continue sur DD. L'image f(D)f(D) est donc un segment [m,M][m, M] de R\mathbb{R}. Par convergence uniforme sur DD, il existe N0∈NN_0 \in \mathbb{N} tel que :
    ∀n≥N0,∀x∈D,∣fn(x)−f(x)∣<1\forall n \geq N_0,   \forall x \in D,   |f_n(x) - f(x)| < 1
    Ainsi, pour n≥N0n \geq N_0 et x∈Dx \in D, on a fn(x)∈[m−1,M+1]f_n(x) \in [m-1, M+1]. Posons K=[m−1,M+1]K = [m-1, M+1], qui est un segment de R\mathbb{R}. Toutes les valeurs prises par ff et par les fnf_n (pour n≥N0n \geq N_0) sont incluses dans le compact KK. La fonction φ\varphi est continue sur R\mathbb{R}, donc elle est continue sur le segment KK. D'après le théorème de Heine, φ\varphi est uniformément continue sur KK. Le raisonnement de la question 1 s'applique alors identiquement en remplaçant II par KK.
    (φ∘fn) converge uniformeˊment vers φ∘f sur D\boxed{ (\varphi \circ f_n) \text{ converge uniformément vers } \varphi \circ f \text{ sur } D }

Oublier de vérifier que f est à valeurs dans le domaine de définition de phi

La continuité uniforme de la fonction extérieure est nécessaire pour conserver la convergence uniforme.