Série de fonctions et limite au bord

On définit, pour tout $x \in [0, 1[$ , la fonction $g$ par :

g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 + x^n)

Montrer que $g$ est bien définie et continue sur $[0, 1[$ .
Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $1^-$ .

1.

Pour la convergence, comparer le terme général à une série géométrique en utilisant une inégalité classique sur le logarithme.

2.

Pour la continuité, utiliser la convergence normale sur les segments $[0, a]$ inclus dans $[0, 1[$ .

3.

Pour la limite en $1$ , minorer la somme par une somme partielle finie et passer à la limite sur $x$ .

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité

•

Inégalité $\ln(1+u) \leq u$

•

Théorème de la limite monotone ou minoration par les sommes partielles

1. Définition et continuité.

Soit $x \in [0, 1[$ . Comme $x^n \geq 0$ , on a $\ln(1+x^n) \geq 0$ . De plus, par concavité du logarithme :

0 \leq \ln(1 + x^n) \leq x^n

Comme la série géométrique $\sum x^n$ converge pour $x \in [0, 1[$ , par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \ln(1+x^n)$ converge.

\boxed{ \text{Le domaine de définition de } g \text{ est } [0, 1[ }

Soit $a \in [0, 1[$ . Pour tout $x \in [0, a]$ , on a :

\sup_{x \in [0, a]} |\ln(1+x^n)| = \ln(1+a^n) \leq a^n

La série numérique $\sum a^n$ converge, donc la série de fonctions $\sum \ln(1+x^n)$ converge normalement (et donc uniformément) sur $[0, a]$ . Chaque terme étant continu, la somme $g$ est continue sur tout segment $[0, a]$ , donc sur $[0, 1[$ .

2. Limite en $1^-$ .

Remarquons que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , la fonction $x \mapsto \ln(1+x^n)$ est croissante sur $[0, 1[$ , donc $g$ est croissante sur $[0, 1[$ . Soit $N \in \mathbb{N}^*$ . Pour tout $x \in [0, 1[$ , par positivité des termes :

g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 + x^n) \geq \sum_{n=1}^{N} \ln(1 + x^n)

La somme de droite est une somme finie de fonctions continues. Par passage à la limite quand $x \to 1^-$ :

\liminf_{x \to 1^-} g(x) \geq \sum_{n=1}^{N} \ln(1 + 1^n) = \sum_{n=1}^{N} \ln(2) = N \ln(2)

Cette inégalité est vraie pour tout entier $N \in \mathbb{N}^*$ . En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ , on en déduit :

\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty

\boxed{ \lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty }

Confusion entre convergence normale sur segments et sur l'intervalle ouvert.

Technique de minoration par les sommes partielles pour les limites infinies.