Régularité d'une série de fonctions convexes

Résolution.

1. Existence et continuité. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $t \in [0, 1]$, on a $|t - q_n| \leq 1$ puisque $t$ et $q_n$ sont dans $[0, 1]$. On en déduit la majoration suivante pour la norme infinie de $f_n$ :
   $$\|f_n\|_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} \frac{|t - q_n|}{2^n} \leq \frac{1}{2^n}$$
   La série numérique $\sum \frac{1}{2^n}$ est une série géométrique convergente. Par comparaison, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[0, 1]$, donc uniformément. Comme chaque fonction $f_n : t \mapsto \frac{|t - q_n|}{2^n}$ est continue sur $[0, 1]$, la somme $S$ est continue sur $[0, 1]$ en tant que limite uniforme d'une série de fonctions continues.
   $$\boxed{ S \text{ est définie et continue sur } [0, 1] }$$

2. Convexité. La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Par composition avec une fonction affine, $t \mapsto |t - q_n|$ est convexe sur $[0, 1]$. Comme $2^{-n} > 0$, chaque $f_n$ est convexe. La somme finie de fonctions convexes étant convexe, les sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^N f_n$ sont convexes. La limite simple d'une suite de fonctions convexes est une fonction convexe. On conclut donc :
   $$\boxed{ S \text{ est convexe sur } [0, 1] }$$

3. Dérivabilité. Soit $x \in [0, 1]$. Étudions le taux d'accroissement de $S$ en $x$. Pour $h \neq 0$ tel que $x+h \in [0, 1]$ :
   $$\frac{S(x+h) - S(x)}{h} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \frac{|x+h-q_n| - |x-q_n|}{h}$$
   Posons $u_n(h) = \frac{1}{2^n} \frac{|x+h-q_n| - |x-q_n|}{h}$. D'après l'inégalité triangulaire inversée, $||x+h-q_n| - |x-q_n|| \leq |h|$, donc :
   $$|u_n(h)| \leq \frac{1}{2^n}$$
   Cette majoration est indépendante de $h$. La série $\sum u_n(h)$ converge donc normalement (et uniformément) par rapport à $h$. On peut alors appliquer le théorème d'interversion limite-somme pour calculer les dérivées à droite et à gauche. Cas 1 : $x = q_k \in \mathbb{Q$ \cap [0, 1].} Pour $n \neq k$, la fonction $f_n$ est dérivable en $q_k$ et $f_n'(q_k) = \frac{1}{2^n} \text{sgn}(q_k - q_n)$. Pour $n = k$, $f_k$ possède une dérivée à droite valant $1/2^k$ et une dérivée à gauche valant $-1/2^k$. En intervertissant la limite et la somme (justifié par la convergence uniforme de la série des taux d'accroissement) :
   $$S'_d(q_k) = \frac{1}{2^k} + \sum_{n \neq k} \frac{\text{sgn}(q_k - q_n)}{2^n}   \text{et}   S'_g(q_k) = -\frac{1}{2^k} + \sum_{n \neq k} \frac{\text{sgn}(q_k - q_n)}{2^n}$$
   On constate que $S'_d(q_k) - S'_g(q_k) = \frac{2}{2^k} = \frac{1}{2^{k-1}} \neq 0$. Ainsi, $S$ n'est pas dérivable aux points rationnels de $[0, 1]$. Cas 2 : $x \in [0, 1] \setminus \mathbb{Q$.} Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $x \neq q_n$, donc $f_n$ est dérivable en $x$. Le taux d'accroissement $u_n(h)$ tend vers $f_n'(x) = \frac{1}{2^n} \text{sgn}(x - q_n)$ quand $h \to 0$. Par convergence uniforme du taux d'accroissement, $S$ est dérivable en $x$ et :
   $$\boxed{ S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\text{sgn}(x - q_n)}{2^n} }$$
   Conclusion : $S$ est dérivable en tout point irrationnel de $[0, 1]$ et n'est dérivable en aucun point rationnel.