Somme de coefficients et relèvement de phase

Soit $(c_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ une suite de nombres complexes. On suppose les hypothèses suivantes :

Les séries $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|^2$ et $\sum_{n \in \mathbb{Z}} n|c_n|$ sont convergentes.
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|^2 = 1$ .
Pour tout $k \in \mathbb{Z}^*$ , $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n \overline{c_{n + k}} = 0$ .

On s'intéresse à la somme $S = \sum_{n \in \mathbb{Z}} n |c_n|^2$ .

Justifier la convergence de la série définissant $S$ .
On définit la fonction $g$ $g$ sur $\mathbb{R}$ $R$ par $g(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x}$ $g (x) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{in x}$ .
1. Montrer que $g$ est bien définie, de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ , et qu'elle est à valeurs dans le cercle unité $\mathbb{U}$ .
Établir l'égalité suivante : $S = \frac{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} \frac{g'(x)}{g(x)} \mathrm{d}x$
Montrer qu'il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $\mathscr{C}^1$ telle que $g = e^{if}$ . En déduire que $S$ est un entier relatif.

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $c_n \to 0$ pour comparer $n|c_n|^2$ à $n|c_n|$ .

2.

Pour le caractère $\mathscr{C}^1$ , étudier la convergence normale des séries de fonctions.

3.

Pour $|g(x)|=1$ , exprimer $|g(x)|^2 = g(x)\overline{g(x)}$ comme un produit de séries et utiliser les relations d'orthogonalité données.

4.

Pour l'intégrale, utiliser $g'(x)/g(x) = g'(x)\overline{g(x)}$ et intégrer terme à terme après justification.

Idées clés

•

Convergence normale pour la régularité des séries de fonctions.

•

Utilisation des propriétés de la forme exponentielle complexe ( $|z|=1 \implies 1/z = \bar{z}$ ).

•

Théorème de relèvement (existence d'une phase de classe $\mathscr{C}^1$ ).

Résolution.

Puisque la série $\sum |c_n|^2$ converge, son terme général tend vers $0$ lorsque $|n| \to \infty$ .
On en déduit qu'au voisinage de $\pm \infty$ :
$n|c_n|^2 = o(n|c_n|)$
Par hypothèse, la série $\sum n|c_n|$ est absolument convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum n|c_n|^2$ est également absolument convergente.

$\boxed{ S = \sum_{n \in \mathbb{Z}} n|c_n|^2 \text{ est bien définie.} }$
1. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ , posons $u_n(x) = c_n e^{inx}$ . On a $\|u_n\|_\infty = |c_n|$ . Puisque $\sum n|c_n|$ converge, a fortiori $\sum |c_n|$ converge (car $|c_n| \le n|c_n|$ pour $n \ge 1$ ). La série $\sum u_n$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}$ . Comme chaque $u_n$ est continue, $g$ est continue.
  De plus, $u_n$ est de classe $\mathscr{C}^1$ avec $u_n'(x) = i n c_n e^{inx}$ . On a $\|u_n'\|_\infty = |n| |c_n|$ . La série des dérivées $\sum u_n'$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ car $\sum |n| |c_n|$ converge par hypothèse. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $g$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et :
  $g'(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} i n c_n e^{inx}$
  Calculons maintenant $|g(x)|^2 = g(x)\overline{g(x)}$ . Par convergence absolue, on peut effectuer le produit de Cauchy (ou utiliser la sommabilité) :
  $g(x)\overline{g(x)} = \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{inx} \right) \left( \sum_{m \in \mathbb{Z}} \overline{c_m} e^{-imx} \right) = \sum_{n,m \in \mathbb{Z}} c_n \overline{c_m} e^{i(n-m)x}$
  En posant $k = m-n$ , on réindexe :
  $|g(x)|^2 = \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-ikx} \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n \overline{c_{n+k}} \right)$
  D'après les hypothèses, la somme intérieure est nulle si $k \neq 0$ et vaut $\sum |c_n|^2 = 1$ si $k=0$ . Il ne reste que le terme $k=0$ :
  $\boxed{ \forall x \in \mathbb{R}, \ |g(x)|^2 = 1 }$
Puisque $|g(x)|=1$ , on a $1/g(x) = \overline{g(x)}$ . Ainsi : $\frac{g'(x)}{g(x)} = g'(x)\overline{g(x)} = \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} inc_n e^{inx} \right) \left( \sum_{m \in \mathbb{Z}} \overline{c_m} e^{-imx} \right)$
En utilisant le même procédé de sommation par paquets (justifié par la convergence absolue des coefficients) :
$\frac{g'(x)}{g(x)} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} i e^{-ikx} \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} n c_n \overline{c_{n+k}} \right)$
Notons $T_k = \sum_{n \in \mathbb{Z}} n c_n \overline{c_{n+k}}$ . La série de fonctions $\sum i T_k e^{-ikx}$ converge normalement. On peut donc intégrer terme à terme sur $[0, 2\pi]$ :
$\int_0^{2\pi} \frac{g'(x)}{g(x)} \mathrm{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} i T_k \int_0^{2\pi} e^{-ikx} \mathrm{d}x$
L'intégrale vaut $2\pi$ si $k=0$ et $0$ sinon. Il reste :
$\int_0^{2\pi} \frac{g'(x)}{g(x)} \mathrm{d}x = 2i\pi T_0 = 2i\pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} n c_n \overline{c_n} = 2i\pi S$
Ce qui donne bien :
$\boxed{ S = \frac{1}{2i\pi} \int_0^{2\pi} \frac{g'(x)}{g(x)} \mathrm{d}x }$
La fonction $g$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et à valeurs dans $\mathbb{U}$ . D'après le théorème de relèvement, il existe $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $\mathscr{C}^1$ telle que $g(x) = e^{if(x)}$ .
En dérivant, on obtient $g'(x) = i f'(x) e^{if(x)}$ , d'où $f'(x) = \frac{g'(x)}{ig(x)}$ . L'expression de $S$ devient :
$S = \frac{1}{2i\pi} \int_0^{2\pi} i f'(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2\pi} [f(2\pi) - f(0)]$
Or, $g$ est $2\pi$ -périodique par sa définition en série de Fourier. Donc $g(2\pi) = g(0)$ , soit $e^{if(2\pi)} = e^{if(0)}$ . Cela implique qu'il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que :
$f(2\pi) - f(0) = 2k\pi$
En injectant dans l'expression de $S$ :
$S = \frac{2k\pi}{2\pi} = k$

$\boxed{ S \in \mathbb{Z} }$

Oubli de la justification de la convergence normale pour la régularité C1.

L'intégrale de la dérivée logarithmique d'une fonction périodique à valeurs dans le cercle unité est liée à son indice (entier).