Intégrale de Poisson et développement en série

Résolution.

1. Cas $|x| < 1$ : Remarquons d'abord que pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, le complexe $z = x e^{i\theta}$ vérifie $|z| = |x| < 1$. L'expression sous le logarithme se factorise de la manière suivante :
   $$x^2 - 2x\cos\theta + 1 = (1 - x e^{i\theta})(1 - x e^{-i\theta}) = \left| 1 - x e^{i\theta} \right|^2$$

   Ainsi, en utilisant les propriétés du logarithme, on obtient :

   $$\ln(x^2 - 2x\cos\theta + 1) = \ln\left( \left| 1 - x e^{i\theta} \right|^2 \right) = 2 \text{Re}\left( \ln(1 - x e^{i\theta}) \right)$$

   Comme $|x e^{i\theta}| < 1$, on peut utiliser le développement en série entière du logarithme :

   $$\ln(1 - x e^{i\theta}) = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x e^{i\theta})^n}{n} = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n e^{in\theta}}{n}$$

   En prenant la partie réelle, il vient :

   $$\ln(x^2 - 2x\cos\theta + 1) = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n \cos(n\theta)}{n}$$

   Posons $u_n(\theta) = -2 \frac{x^n \cos(n\theta)}{n}$. Pour tout $\theta \in [0, 2\pi]$, on a :

   $$|u_n(\theta)| \le \frac{2|x|^n}{n}$$

   Comme $|x| < 1$, la série numérique $\sum \frac{|x|^n}{n}$ converge. La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $[0, 2\pi]$.

   On peut donc intégrer terme à terme :

   $$I(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_{0}^{2 \pi} -2 \frac{x^n \cos(n\theta)}{n} \mathrm{d}\theta$$

   Or, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on sait que :

   $$\int_{0}^{2 \pi} \cos(n\theta) \mathrm{d}\theta = \left[ \frac{\sin(n\theta)}{n} \right]_0^{2\pi} = 0$$

   On en déduit immédiatement le résultat pour le premier cas :

   $$\boxed{I(x) = 0}$$

2. Cas $|x| > 1$ : Supposons maintenant que $|x| > 1$. On peut factoriser par $x^2$ dans l'argument du logarithme :
   $$x^2 - 2x\cos\theta + 1 = x^2 \left( 1 - \frac{2}{x}\cos\theta + \frac{1}{x^2} \right)$$

   En utilisant la linéarité de l'intégrale et les propriétés du logarithme :

   $$I(x) = \int_{0}^{2 \pi} \ln(x^2) \mathrm{d}\theta + \int_{0}^{2 \pi} \ln\left( 1 - 2\frac{1}{x}\cos\theta + \frac{1}{x^2} \right) \mathrm{d}\theta$$

   La première intégrale est immédiate car le terme est constant par rapport à $\theta$ :

   $$\int_{0}^{2 \pi} \ln(x^2) \mathrm{d}\theta = 2\pi \ln(x^2) = 4\pi \ln|x|$$

   La seconde intégrale correspond exactement à $I(1/x)$. Comme $|x| > 1$, on a $|1/x| < 1$. D'après la question précédente, on a donc $I(1/x) = 0$.

   Finalement, on obtient :

   $$\boxed{I(x) = 4\pi \ln|x|}$$