Représentation intégrale d'une série entière

Résolution.

1. Étudions la convergence de la série définissant $f(t)$. Puisque la série $\sum a_n x^n$ converge absolument, la suite $(a_n x^n)$ est bornée par un réel $M \geq 0$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}$, on a la majoration suivante :
   $$\left| \frac{a_n (xt)^n}{n!} \right| \leq M \frac{|t|^n}{n!}$$
   On reconnaît le terme général d'une série exponentielle, dont on sait qu'elle converge pour tout réel $|t|$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série définissant $f(t)$ converge absolument pour tout $t \in \mathbb{R}$.
   $$\boxed{ \text{La fonction } f : t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{n!} t^n \text{ est bien définie sur } \mathbb{R}. }$$

2. Nous souhaitons intervertir les symboles somme et intégrale dans l'expression suivante :
   $$I = \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{n!} t^n \right) dt$$

   Considérons la suite de fonctions $(u_n)$ définies sur $[0, +\infty[$ par :

   $$u_n(t) = e^{-t} \frac{a_n x^n}{n!} t^n$$

   Vérifions les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme : i) Chaque fonction $u_n$ est continue et intégrable sur $[0, +\infty[$ comme produit d'un polynôme et d'une exponentielle décroissante. ii) La série de fonctions $\sum u_n$ converge simplement vers la fonction $t \mapsto e^{-t} f(t)$ qui est continue sur $[0, +\infty[$. iii) Vérifions la convergence de la série des intégrales des modules :

   $$\int_0^{+\infty} |u_n(t)|   dt = \frac{|a_n x^n|}{n!} \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}   dt$$
   On calcule classiquement l'intégrale de droite par récurrence ou via la fonction $\Gamma$ :
   $$\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}   dt = n!$$
   D'où le résultat intermédiaire :
   $$\int_0^{+\infty} |u_n(t)|   dt = \frac{|a_n x^n|}{n!} \times n! = |a_n x^n|$$
   Par hypothèse, la série $\sum |a_n x^n|$ converge. L'hypothèse de convergence de $\sum \int |u_n|$ est donc satisfaite. D'après le théorème d'intégration terme à terme, on peut affirmer que :
   $$\int_0^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{+\infty} u_n(t)   dt$$

   Ce qui se traduit par :

   $$\int_0^{+\infty} e^{-t} f(t)   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{n!} \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}   dt$$
   En remplaçant l'intégrale par $n!$, on obtient :
   $$\int_0^{+\infty} e^{-t} f(t)   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{n!} \times n!$$
   Finalement :
   $$\boxed{ \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{n} (xt)^{n}}{n!}   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} }$$