Représentation en série d'intégrales à paramètre

Résolution.

1. Définition et continuité. Soit $g(x, t) = \frac{\sin(xt)}{e^t - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $t \mapsto g(x, t)$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$. En $t \to 0$, $g(x, t) \sim \frac{xt}{t} = x$. La fonction est donc prolongeable par continuité en $0$. En $t \to +\infty$, $|g(x, t)| \le \frac{1}{e^t - 1} \sim e^{-t}$, ce qui assure l'intégrabilité. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [-a, a]$ et $t \in \mathbb{R}_+^*$, on a :
   $$|g(x, t)| = \left| x \cdot \frac{\sin(xt)}{xt} \cdot \frac{t}{e^t - 1} \right| \le a \cdot \frac{t}{e^t - 1}$$
   La fonction $\phi_a(t) = \frac{at}{e^t - 1}$ est continue sur $]0, +\infty[$, prolongeable en $0$ par la valeur $a$, et intégrable au voisinage de $+\infty$. Par le théorème de continuité sous le signe intégral, $f$ est continue sur tout segment $[-a, a]$, donc sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{ f \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R} }$$

2. Classe $\mathscr{C$^\infty.} La fonction $g$ admet des dérivées partielles par rapport à $x$ à tout ordre $p \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\frac{\partial^p g}{\partial x^p}(x, t) = \frac{t^p \sin(xt + p\pi/2)}{e^t - 1}$$
   Pour $x \in \mathbb{R}$, on a la majoration uniforme :
   $$\left| \frac{\partial^p g}{\partial x^p}(x, t) \right| \le \frac{t^p}{e^t - 1}$$
   Notons $\psi_p(t) = \frac{t^p}{e^t - 1}$. Cette fonction est continue sur $\mathbb{R}_+^*$. En $0$, $\psi_p(t) \sim t^{p-1}$. Comme $p \ge 1$, $\psi_p$ est prolongeable par continuité ou tend vers $0$ en $0$. En $+\infty$, $\psi_p(t) = o(1/t^2)$ par croissance comparée. Ainsi, $\psi_p$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$. Le théorème de dérivation sous le signe intégral (généralisé à l'ordre $p$) s'applique :
   $$\boxed{ f \in \mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) }$$

3. Développement en série. Pour $t > 0$, on a $0 < e^{-t} < 1$. On peut écrire :
   $$\frac{1}{e^t - 1} = \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nt}$$
   D'où $\frac{\sin(xt)}{e^t - 1} = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nt} \sin(xt)$. Posons $u_n(t) = e^{-nt} \sin(xt)$. Les fonctions $u_n$ sont continues et intégrables sur $\mathbb{R}_+^*$. Calculons l'intégrale du module :
   $$\int_0^{+\infty} |e^{-nt} \sin(xt)|   dt \le \int_0^{+\infty} |x| t e^{-nt}   dt = \frac{|x|}{n^2}$$
   Comme $\sum \frac{|x|}{n^2}$ converge, le théorème d'intégration terme à terme s'applique.
   $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty} e^{-nt} \sin(xt)   dt$$
   Par un calcul classique (partie imaginaire de l'intégrale de $e^{(-n+ix)t}$), on obtient :
   $$\int_0^{+\infty} e^{-nt} \sin(xt)   dt = \text{Im}\left( \left[ \frac{e^{(-n+ix)t}}{-n+ix} \right]_0^{+\infty} \right) = \text{Im}\left( \frac{1}{n-ix} \right) = \frac{x}{n^2 + x^2}$$
   $$\boxed{ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^2+x^2} }$$

4. Application. Soit $x > 0$. On effectue le changement de variable $u = xt$ ($du = x dt$) :
   $$F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(u/x)}{e^u - 1} \frac{du}{x} = \frac{1}{x} f\left(\frac{1}{x}\right)$$
   En remplaçant $x$ par $1/x$ dans la formule précédente :
   $$F(x) = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1/x}{n^2 + (1/x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1/x^2}{n^2 + 1/x^2}$$
   En multipliant numérateur et dénominateur par $x^2$ :
   $$\boxed{ F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2x^2} }$$