Formule intégrale de Duhamel

exponentielle matricielle intégrale dérivation Duhamel Dérivée d'une exponentielle de matrice Théorème fondamental de l'analyse

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Démontrer l'identité suivante reliant la différence des exponentielles à une intégrale de produits matriciels :

\exp(A) - \exp(B) = \int_{0}^{1} \exp(sA) (A - B) \exp((1 - s)B)   \mathrm{d}s

On pourra introduire la fonction d'une variable réelle $f : s \mapsto \exp(sA) \exp((1 - s)B)$ définie sur $[0, 1]$ .

Une autre méthode consiste à utiliser le développement en série de l'exponentielle sous le signe intégral et à utiliser les intégrales de Wallis ou la fonction Bêta.

Idées clés

•

Dérivation d'une application à valeurs matricielles.

•

Lien entre intégrale et primitive pour les fonctions de la variable réelle.

•

Manipulation de l'exponentielle de matrices (non-commutativité).

Résolution.

Considérons la fonction $f : [0, 1] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

f(s) = \exp(sA) \exp((1 - s)B)

L'application $s \mapsto \exp(sA)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \exp(sA) = A \exp(sA) = \exp(sA) A

puisque

sA

A

commutent.

De même, l'application $s \mapsto \exp((1 - s)B)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \exp((1 - s)B) = -B \exp((1 - s)B) = -\exp((1 - s)B) B

Par produit d'applications dérivables, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ . En utilisant la règle de dérivation d'un produit, on obtient :

f'(s) = A \exp(sA) \exp((1 - s)B) + \exp(sA) \left( -B \exp((1 - s)B) \right)

En factorisant par $\exp(sA)$ à gauche et par $\exp((1 - s)B)$ à droite, il vient :

\boxed{ f'(s) = \exp(sA) (A - B) \exp((1 - s)B) }

D'après le théorème fondamental de l'analyse, l'intégrale de la dérivée sur $[0, 1]$ donne la variation de la fonction :

\int_{0}^{1} f'(s)   \mathrm{d}s = f(1) - f(0)

Calculons les valeurs aux bornes :

$f(1) = \exp(1 \cdot A) \exp(0 \cdot B) = \exp(A) I_n = \exp(A)$
$f(0) = \exp(0 \cdot A) \exp(1 \cdot B) = I_n \exp(B) = \exp(B)$

On en déduit donc l'égalité :

\int_{0}^{1} \exp(sA) (A - B) \exp((1 - s)B)   \mathrm{d}s = \exp(A) - \exp(B)

Ce qui permet de conclure :

\boxed{ \exp(A) - \exp(B) = \int_{0}^{1} e^{sA} (A - B) e^{(1 - s)B}   \mathrm{d}s }

Non-commutativité des matrices A et B sous l'intégrale.

Formule de Duhamel pour la différence de deux exponentielles.