Fonction de Weierstrass et accroissements locaux

Résolution.

1. La fonction $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}$ et bornée (puisque $0 \le \varphi(x) \le 1/2$ pour tout $x$). Soit $u_n(x) = (3/4)^n \varphi(4^n x)$. On a :
   $$\|u_n\|_\infty = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \frac{1}{2}$$
   Comme $|3/4| < 1$, la série $\sum \|u_n\|_\infty$ converge. La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}$. Comme chaque $u_n$ est continue, la somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. 1. Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, par inégalité triangulaire :
      $$| |x-n| - |y-n| | \le |x-y|$$
      En passant à l'infimum sur $n \in \mathbb{Z}$, on obtient $|\varphi(x) - \varphi(y)| \le |x-y|$.
      $$\boxed{\text{$$$\varphi$ est 1-lipschitzienne.}}

   2. Notons $L_n$ la constante de Lipschitz de $u_n$. On a $L_n = (3/4)^n \cdot 4^n = 3^n$. La somme des constantes de Lipschitz diverge, on ne peut donc pas conclure directement. Soit $h_N = \frac{1}{2 \cdot 4^N}$. Pour $n > N$, $4^n h_N$ est un multiple de $1/2$, mais plus précisément pour $n \ge N+1$, $4^n h_N$ est un entier pair, donc $\varphi(4^n h_N) = 0$. Pour $n \le N$, on a $4^n h_N \in ]0, 1/2]$, donc $\varphi(4^n h_N) = 4^n h_N$. Ainsi :
      $$f(h_N) - f(0) = \sum_{n=0}^{N} 3^n h_N = \frac{3^{N+1}-1}{2} h_N$$
      Le taux d'accroissement $\frac{f(h_N)-f(0)}{h_N} = \frac{3^{N+1}-1}{2}$ tend vers $+\infty$ avec $N$.
      $$\boxed{\text{$$$f$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de 0, et donc pas dérivable en 0.}}

3. 1. Posons $X = 4^p x$. On cherche $\varepsilon_p \in \{-1, 1\}$ tel que $|\varphi(X + \varepsilon_p/4) - \varphi(X)| = 1/4$. La fonction $\varphi$ est affine de pente $1$ ou $-1$ sur chaque intervalle $[k/2, (k+1)/2]$. L'intervalle $[X - 1/4, X + 1/4]$ est de longueur $1/2$. Il contient nécessairement un point où $\varphi$ change de pente (un multiple de $1/2$) ou il est inclus dans un domaine où $\varphi$ est affine. Plus simplement : $\varphi$ est affine de pente $\pm 1$ sur $[m, m+1/2]$ et $[m+1/2, m+1]$. Si $X$ appartient à un tel intervalle de longueur $1/2$, on peut toujours s'écarter de $1/4$ vers la gauche ou vers la droite en restant dans cet intervalle ou en conservant la même pente. Par exemple, si $X \in [m, m+1/4]$, on prend $\varepsilon_p = 1$, alors $X+1/4 \in [m, m+1/2]$ et $|\varphi(X+1/4)-\varphi(X)| = 1/4$.

   2. Soit $h_p = \frac{\varepsilon_p}{4^{p+1}}$. On calcule l'accroissement $\Delta_p = f(x+h_p) - f(x)$ :
      $$\Delta_p = \sum_{n=0}^{p} \left(\frac{3}{4}\right)^n \left[ \varphi(4^n(x+h_p)) - \varphi(4^nx) \right] + \sum_{n=p+1}^{+\infty} \dots$$
      Pour $n \ge p+1$, $4^n h_p$ est un entier, donc $\varphi(4^n(x+h_p)) = \varphi(4^nx + \text{entier}) = \varphi(4^nx)$. La seconde somme est nulle. Pour le terme $n=p$, la valeur absolue vaut $(3/4)^p \cdot 1/4$. Pour $n < p$, notons $v_n = (3/4)^n (\varphi(4^n(x+h_p)) - \varphi(4^nx))$. On a $|v_n| \le (3/4)^n \cdot 4^n |h_p| = 3^n \frac{1}{4^{p+1}}$. Par inégalité triangulaire renversée :
      $$|f(x+h_p) - f(x)| \ge \left(\frac{3}{4}\right)^p \frac{1}{4} - \sum_{n=0}^{p-1} 3^n \frac{1}{4^{p+1}}$$
      $$|f(x+h_p) - f(x)| \ge \frac{3^p}{4^{p+1}} - \frac{3^p-1}{2 \cdot 4^{p+1}} = \frac{3^p + 1}{2 \cdot 4^{p+1}}$$
      On en déduit le taux d'accroissement :
      $$\left| \frac{f(x+h_p) - f(x)}{h_p} \right| \ge \frac{\frac{3^p+1}{2 \cdot 4^{p+1}}}{\frac{1}{4^{p+1}}} = \frac{3^p+1}{2}$$
      Cette quantité tend vers $+\infty$ quand $p \to +\infty$.
      $$\boxed{\text{$$$f$ n'est dérivable en aucun point $x \in \mathbb{R}$.}}