Séries d'exponentielles de type Gauss

Résolution.

1. Domaine de $f$. Si $x > 0$, $e^{-n^2 x} \leq e^{-n x}$ pour $n \geq 1$. La série converge. Si $x \leq 0$, $e^{-n^2 x} \geq 1$, la série diverge grossièrement.
   $$\boxed{D_f = ]0, +\infty[}$$

2. Continuité et limite. Sur $[a, +\infty[$ ($a>0$), $|e^{-n^2 x}| \leq e^{-n^2 a}$, terme général d'une série convergente. D'où la continuité. Par interversion limite-somme (justifiée par la CVN sur $[1, +\infty[$) :
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^0 + 0 + \dots = 1}$$

3. Continuité de $h$. Soit $v_n(x) = x e^{-n^2 x}$. $v_n$ est continue sur $[0, +\infty[$. En étudiant $v_n'(x) = (1 - n^2 x)e^{-n^2 x}$, on voit que $v_n$ atteint son maximum en $x_n = 1/n^2$.
   $$\|v_n\|_\infty = v_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{e n^2}$$
   La série $\sum \|v_n\|_\infty$ converge, donc $\sum v_n$ converge normalement sur $[0, +\infty[$. Ainsi, $h$ est continue sur $[0, +\infty[$. En particulier, $h(0) = \sum 0 = 0$.

4. Classe $\mathcal{C$^1.} $v_n'(x) = (1 - n^2 x)e^{-n^2 x}$. Soit $0 < a < b$. Pour $x \in [a, b]$, $|v_n'(x)| \leq (1 + n^2 b)e^{-n^2 a}$. Par croissance comparée, cette borne est le terme général d'une série convergente. La série des dérivées converge normalement sur tout segment de $]0, +\infty[$.
   $$\boxed{h \in \mathcal{C}^1(]0, +\infty[, \mathbb{R})}$$

5. Intégrabilité. Les fonctions $v_n$ sont positives et continues sur $[0, +\infty[$. Calculons $\int_0^{+\infty} v_n(x) \mathrm{d}x$ en posant $t = n^2 x$ :
   $$\int_0^{+\infty} x e^{-n^2 x} \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \frac{t}{n^2} e^{-t} \frac{\mathrm{d}t}{n^2} = \frac{1}{n^4} \int_0^{+\infty} t e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{n^4}$$
   La série $\sum \int_0^{+\infty} v_n$ converge (série de Riemann). D'après le théorème d'intégration terme à terme pour les fonctions positives :
   $$\boxed{h \text{ est intégrable sur } [0, +\infty[}$$