Étude d'une suite et série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Convergence simple : Si $x = 0$, $f_n(0) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$ pour tout $n$. Donc $f_n(0) \to 1/2$. Si $x \neq 0$, $(1+nx)^2 \sim n^2 x^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, donc $f_n(x) \to 0$. La limite simple est $f$ définie par $f(0)=1/2$ et $f(x)=0$ si $x \neq 0$. Convergence uniforme : La limite $f$ n'est pas continue en 0, alors que les $f_n$ le sont.
   $$\boxed{ (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R} }$$
   Note : On peut aussi voir que $f_n(-1/n) = 1$, ce qui ne tend pas vers $f(-1/n) = 0$.

2. Soit $K = [a, b]$ un segment de $\mathbb{R}^*$. Si $a > 0$, alors pour tout $x \in K$, $1+nx \ge 1+na$, donc $|f_n(x)| \le \frac{1}{1+(1+na)^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. L'écart est majoré par une suite tendant vers 0 indépendante de $x$. Le raisonnement est similaire si $b < 0$ (en utilisant $1+nx \le 1+nb$).
   $$\boxed{ (f_n) \xrightarrow{CVU} 0 \text{ sur tout segment de } \mathbb{R}^* }$$

3. Série de fonctions :
   1. Si $x=0$, $f_n(0) = 1/2$. La série $\sum 1/2$ diverge grossièrement. Si $x \neq 0$, $f_n(x) \sim \frac{1}{n^2 x^2}$. C'est le terme général d'une série de Riemann convergente ($\alpha=2 > 1$).
      $$\boxed{ \text{Le domaine de convergence simple est } \mathbb{R}^* }$$

   2. Sur tout segment $[a, b] \subset \mathbb{R}^*$ ne contenant pas 0, on a $|f_n(x)| \le \frac{C}{n^2}$, donc il y a convergence normale (et donc uniforme). Cependant, sur $]0, +\infty[$, la convergence n'est pas uniforme car le reste de la série ne tend pas vers 0 uniformément au voisinage de 0. En effet, $\sum f_n(x)$ n'est pas bornée au voisinage de 0 (elle se comporte comme $1/x^2$).