Continuité d'une série de fonctions trigonométriques

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\sum a_n$ converge. On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par :

f(h) = \begin{cases} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \frac{\sin^2(nh)}{(nh)^2} & \text{si } h \neq 0 \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n & \text{si } h = 0 \end{cases}

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ .
Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ .
Étudier la continuité de $f$ en $0$ .

1.

Introduire la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(t) = \frac{\sin^2 t}{t^2}$ pour $t \neq 0$ et $\varphi(0)=1$ . Vérifier ses propriétés de régularité.

2.

Pour la définition et la continuité, utiliser une transformation d'Abel (sommation par parties) pour compenser le fait que la série $\sum a_n$ n'est pas supposée absolument convergente.

3.

Pour la limite en $0$ , exprimer la différence $\varphi((n+1)h) - \varphi(nh)$ sous forme intégrale et utiliser la convergence du reste de la série $\sum a_n$ .

Idées clés

•

Transformation d'Abel (sommation par parties).

•

Utilisation du reste d'une série convergente.

•

Majoration intégrale pour la convergence uniforme.

1. Étude du domaine de définition.

Posons $\varphi(t) = \frac{\sin^2 t}{t^2}$ pour $t \neq 0$ et $\varphi(0)=1$ . $\varphi$ est la restriction à $\mathbb{R}$ d'une fonction entière (développement en série entière de $\text{sinc}^2$ ), donc $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Pour $h=0$ , $f(0)$ est défini par hypothèse car la série $\sum a_n$ converge.

Pour $h \neq 0$ , la série $\sum a_n \varphi(nh)$ ne converge pas nécessairement absolument. Utilisons une transformation d'Abel. Soit $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k$ le reste d'ordre $n$ de la série convergente $\sum a_k$ . On a $R_n \to 0$ et $a_n = R_{n-1} - R_n$ .

Pour tout $N \geq 1$ , on a :

\sum_{n=1}^N a_n \varphi(nh) = \sum_{n=1}^N (R_{n-1} - R_n) \varphi(nh) = R_0 \varphi(h) + \sum_{n=1}^{N-1} R_n (\varphi((n+1)h) - \varphi(nh)) - R_N \varphi(Nh)

Comme $\varphi$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et $R_N \to 0$ , le terme $R_N \varphi(Nh)$ tend vers $0$ quand $N \to +\infty$ . Par ailleurs, d'après l'inégalité des accroissements finis :

|\varphi((n+1)h) - \varphi(nh)| \leq |h| \sup_{t \in [nh, (n+1)h]} |\varphi'(t)|

Comme $\varphi'(t) = O(1/t^2)$ au voisinage de l'infini, la série $\sum (\varphi((n+1)h) - \varphi(nh))$ est absolument convergente. Ainsi, $f(h)$ est bien défini pour tout $h \in \mathbb{R}$ .

\boxed{ \text{Le domaine de définition de } f \text{ est } \mathbb{R}. }

2. Continuité sur $\mathbb{R$ ^* $R^{*}$ .}

Soit $h_0 \neq 0$ . Sur un voisinage compact $K$ de $h_0$ ne contenant pas $0$ , on peut montrer la convergence normale de la série transformée. En reprenant l'expression :

f(h) = R_0 \varphi(h) + \sum_{n=1}^{+\infty} R_n \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t)   dt

Le terme $R_0 \varphi(h)$ est continu. Pour la série, notons $g_n(h) = R_n \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t) dt$ . On a $|g_n(h)| \leq |R_n| \int_{n|h|}^{(n+1)|h|} |\varphi'(t)| dt$ .

Sur un compact $K \subset \mathbb{R}^*$ , il existe $m > 0$ tel que $\forall h \in K, |h| \geq m$ .

\sum_{n=1}^{+\infty} \sup_{h \in K} |g_n(h)| \leq \sup_{n} |R_n| \sum_{n=1}^{+\infty} \int_{nm}^{(n+1)m} |\varphi'(t)|   dt = \sup_n |R_n| \int_m^{+\infty} |\varphi'(t)|   dt

L'intégrale converge car $\varphi'(t) = O(t^{-2})$ à l'infini. Il y a convergence normale sur tout compact de $\mathbb{R}^*$ .

\boxed{ f \text{ est continue sur } \mathbb{R} \setminus \{0\}. }

3. Continuité en $0$ .

Nous voulons montrer que $\lim_{h \to 0} f(h) = f(0) = R_0$ . D'après la transformation d'Abel :

f(h) - R_0 \varphi(h) = \sum_{n=1}^{+\infty} R_n \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t)   dt

Comme $\varphi(h) \xrightarrow[h \to 0]{} \varphi(0) = 1$ , il suffit de montrer que la somme tend vers $0$ . Soit $\epsilon > 0$ . Comme $R_n \to 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$ , $|R_n| \leq \epsilon$ . Découpons la somme en deux parties :

\left| \sum_{n=1}^{+\infty} R_n \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t)   dt \right| \leq \sum_{n=1}^{N-1} |R_n| \left| \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t)   dt \right| + \epsilon \int_{Nh}^{+\infty} |\varphi'(t)|   dt

Première partie : À $N$ fixé, chaque intégrale $\int_{nh}^{(n+1)h} \varphi'(t) dt$ tend vers $0$ quand $h \to 0$ par continuité de l'intégrale (ou car $\varphi$ est continue). Donc il existe $\delta > 0$ tel que pour $|h| < \delta$ , cette somme finie est inférieure à $\epsilon$ .

Seconde partie : L'intégrale $\int_{Nh}^{+\infty} |\varphi'(t)| dt$ est majorée par $I = \int_{0}^{+\infty} |\varphi'(t)| dt$ , qui est une constante finie. En effet, $\varphi'(t) \sim -2t/3$ en $0$ et $\varphi'(t) = O(t^{-2})$ en $+\infty$ .

Finalement, pour $h$ assez petit, $|f(h) - R_0 \varphi(h)| \leq \epsilon + \epsilon I = \epsilon(1+I)$ .

\boxed{ \lim_{h \to 0} f(h) = f(0), \text{ donc } f \text{ est continue en } 0. }

Interversion limite-somme injustifiée sans transformation préalable.

Utiliser la transformation d'Abel pour les séries dont la convergence n'est pas absolue.