Théorème de dérivation des suites de fonctions

Résolution.

1. Soit $J$ un segment de $I$ contenant $x_0$. Montrons que $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $J$. Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $(f_n(x_0))$ converge, elle est de Cauchy : il existe $n_1$ tel que pour $p, q \ge n_1$, $|f_p(x_0) - f_q(x_0)| \le \varepsilon$. Puisque $(f_n')$ converge uniformément sur $J$, elle y vérifie le critère de Cauchy uniforme : il existe $n_2$ tel que pour $p, q \ge n_2$, $\|f_p' - f_q'\|_{\infty, J} \le \varepsilon$. Soit $n_0 = \max(n_1, n_2)$. Pour $p, q \ge n_0$ et $x \in J$, on utilise l'inégalité triangulaire :
   $$|f_p(x) - f_q(x)| \le |f_p(x) - f_q(x) - (f_p(x_0) - f_q(x_0))| + |f_p(x_0) - f_q(x_0)|$$
   Par l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $h = f_p - f_q$ entre $x$ and $x_0$ :
   $$|(f_p - f_q)(x) - (f_p - f_q)(x_0)| \le |x - x_0| \cdot \|f_p' - f_q'\|_{\infty, J}$$
   En notant $L$ la longueur du segment $J$, on obtient pour tout $x \in J$ :
   $$|f_p(x) - f_q(x)| \le L \varepsilon + \varepsilon = (L+1)\varepsilon$$
   Ceci prouve que $(f_n)$ converge uniformément sur $J$. On note $f$ sa limite.
   $$\boxed{f_n \xrightarrow[n \to \infty]{unif. sur J} f}$$

2. 1. Fixons $x \in I$ et un segment $J \subset I$ contenant $x$. Pour $p, q \ge n_0$ et $y \in J \setminus \{x\}$, on a :
      $$\phi_p(y) - \phi_q(y) = \frac{(f_p - f_q)(y) - (f_p - f_q)(x)}{y - x}$$
      D'après l'IAF appliquée à $f_p - f_q$ entre $x$ et $y$ :
      $$|\phi_p(y) - \phi_q(y)| \le \sup_{t \in [x, y]} |f_p'(t) - f_q'(t)| \le \|f_p' - f_q'\|_{\infty, J}$$
      Puisque $(f_n')$ converge uniformément sur $J$, le membre de droite tend vers $0$ indépendamment de $y \in J \setminus \{x\}$. La suite $(\phi_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $J \setminus \{x\}$. Elle converge donc uniformément sur $J \setminus \{x\}$ vers une fonction $\Phi$. Comme $f_n \to f$ simplement, on a nécessairement :
      $$\boxed{\forall y \neq x, \Phi(y) = \frac{f(y) - f(x)}{y - x}}$$

   2. Chaque fonction $\phi_n$ est prolongeable par continuité en $x$ par $\phi_n(x) = f_n'(x)$. Puisque $\phi_n \to \Phi$ uniformément sur $J \setminus \{x\}$ et que chaque $\phi_n$ admet une limite $f_n'(x)$ en $x$, et puisque la suite $(f_n'(x))$ converge vers $g(x)$, le théorème d'interversion des limites s'applique : La fonction $\Phi$ admet une limite en $x$ égale à $\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x)$. Ainsi, $f$ est dérivable en $x$ et $f'(x) = g(x)$.
      $$\boxed{f'(x) = g(x)}$$