Équicontinuité et convergence uniforme

Résolution.

1. Étape A : Régularité de la limite. D'après l'IAF, chaque $f_n$ est $M$-lipschitzienne : $\forall (x, y) \in [a, b]^2, |f_n(x) - f_n(y)| \le M|x - y|$. Par passage à la limite simple ($n \to \infty$), on obtient :
   $$\boxed{\forall (x, y) \in [a, b]^2, |f(x) - f(y)| \le M|x - y|}$$
   Ainsi $f$ est aussi $M$-lipschitzienne, donc continue.

   Étape B : Preuve de la convergence uniforme. Soit $\varepsilon > 0$. On découpe $[a, b]$ en $K$ sous-intervalles de longueur $h \le \frac{\varepsilon}{3M}$. Soient $x_0, x_1, \dots, x_K$ les points de subdivision. Pour tout $x \in [a, b]$, il existe $i$ tel que $x \in [x_i, x_{i+1}]$. On écrit :

   $$|f_n(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x)|$$
   Par le caractère lipschitzien : $|f_n(x) - f_n(x_i)| \le M h \le \frac{\varepsilon}{3}$ et $|f(x_i) - f(x)| \le M h \le \frac{\varepsilon}{3}$. Puisque $(f_n)$ converge simplement, il existe $N$ tel que pour tout $n \ge N$ et pour le nombre fini de points $x_i$ :
   $$\forall i \in \{0, \dots, K\}, |f_n(x_i) - f(x_i)| \le \frac{\varepsilon}{3}$$
   Ainsi, pour tout $n \ge N$ et tout $x \in [a, b]$ : $|f_n(x) - f(x)| \le \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$.
   $$\boxed{\|f_n - f\|_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0}$$

2. Sur un intervalle non borné, c'est faux. Soit $f_n(x) = \sin\left(x + \frac{x}{n}\right)$. On a $|f_n'(x)| \le 1 + \frac{1}{n} \le 2$ pour $n \ge 1$. La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f(x) = \sin(x)$ car $\frac{x}{n} \to 0$. Cependant, la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}$. En effet :
   $$|f_n(x) - f(x)| = \left| 2 \sin\left(\frac{x}{2n}\right) \cos\left(x + \frac{x}{2n}\right) \right|$$
   En choisissant $x_n = n\pi$, on a $|f_n(x_n) - f(x_n)| = |2 \sin(\pi/2) \cos(n\pi + \pi/2)| = 0$, mais pour $x_n$ tel que $\frac{x_n}{2n} = \frac{\pi}{2}$, soit $x_n = n\pi$ :
   $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \ge |f_n(n\pi) - f(n\pi)| = |\sin(n\pi + \pi) - \sin(n\pi)| = 0 \text{ (mauvais choix)}$$
   Prenons plutôt $x_n$ tel que $\frac{x_n}{n} = \pi$, soit $x_n = n\pi$. Alors $f_n(n\pi) = \sin(n\pi + \pi) = 0$ et $f(n\pi) = 0$. Prenons $x_n = \frac{n\pi}{2}$. Pour $n$ impair, $f_n(x_n) = \sin(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{2})$ et $f(x_n) = \sin(\frac{n\pi}{2})$. Pour $n=2k+1$, $|f_n(x_n) - f(x_n)| = | \sin((k+1)\pi) - \sin(k\pi + \pi/2) | = |0 - (-1)^k| = 1 \not\to 0$.
   $$\boxed{\text{La propriété est fausse sur } \mathbb{R}}$$