Équation fonctionnelle et itération intégrale

Résolution.

1. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $f_0: x \mapsto 1$ est bien polynomiale. Si $f_n$ est un polynôme, alors $t \mapsto f_n(t - t^2)$ est un polynôme par composition. Son intégrale entre $0$ et $x$ est un polynôme en $x$. Ainsi, $f_{n+1}$ est polynomiale.

2. Posons $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$. On a $d_0(x) = (1+x) - 1 = x$. Pour $n \ge 1$, on a par linéarité de l'intégrale :
   $$d_n(x) = \int_0^x (f_n(t - t^2) - f_{n-1}(t - t^2))   \mathrm{d}t = \int_0^x d_{n-1}(t - t^2)   \mathrm{d}t$$
   Montrons par récurrence que $0 \le d_n(x) \le \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$. L'initialisation est vérifiée pour $n=0$. Supposons le résultat au rang $n-1$. Comme $t \in [0, 1]$, on a $0 \le t - t^2 = t(1-t) \le t \le 1$. Par l'hypothèse de récurrence :
   $$0 \le d_{n-1}(t - t^2) \le \frac{(t - t^2)^n}{n!} \le \frac{t^n}{n!}$$
   En intégrant ces inégalités entre $0$ et $x$ :
   $$0 \le \int_0^x d_{n-1}(t - t^2)   \mathrm{d}t \le \int_0^x \frac{t^n}{n!}   \mathrm{d}t = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$
   Ce qui donne exactement :
   $$\boxed{ 0 \le f_{n+1}(x) - f_n(x) \le \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} }$$

3. La série de fonctions $\sum (f_{n+1} - f_n)$ est une série de fonctions continues sur $[0, 1]$. D'après la question précédente, la norme infinie est majorée par :
   $$\|f_{n+1} - f_n\|_{\infty} \le \frac{1}{(n+1)!}$$
   Comme la série numérique $\sum \frac{1}{(n+1)!}$ converge (vers $e-1$), la série de fonctions converge normalement, donc uniformément sur $[0, 1]$. Par télescopage, la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ continue sur $[0, 1]$.

4. Par convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$, on peut passer à la limite dans la relation intégrale :
   $$\forall x \in [0, 1], \ f(x) = 1 + \int_0^x f(t - t^2)   \mathrm{d}t$$
   Comme $t \mapsto f(t - t^2)$ est continue sur $[0, 1]$, le théorème fondamental de l'analyse assure que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ avec :
   $$\boxed{ f'(x) = f(x - x^2)   \text{et}   f(0) = 1 }$$
   Puisque $f$ est $\mathcal{C}^1$, alors $x \mapsto f(x - x^2)$ est $\mathcal{C}^1$ (composition par un polynôme), donc $f'$ est $\mathcal{C}^1$, ce qui rend $f$ de classe $\mathcal{C}^2$. Par une récurrence immédiate, on montre que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

5. On sait que $f_n(x) = f_0(x) + \sum_{k=0}^{n-1} (f_{k+1}(x) - f_k(x))$. D'après l'inégalité de la question 2 :
   $$f_n(x) \le 1 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$$
   En passant à la limite quand $n \to +\infty$, on obtient par comparaison :
   $$\boxed{ \forall x \in [0, 1], \ f(x) \le e^x }$$

6. Soit $g(x) = f(x) + f(1-x)$. La fonction $g$ est dérivable sur $[0, 1]$ et :
   $$g'(x) = f'(x) - f'(1-x) = f(x - x^2) - f((1-x) - (1-x)^2)$$
   Or $(1-x) - (1-x)^2 = (1-x) - (1 - 2x + x^2) = x - x^2$. D'où $g'(x) = f(x - x^2) - f(x - x^2) = 0$. La fonction $g$ est donc constante sur $[0, 1]$. En particulier, $g(x) = g(0) = f(0) + f(1)$. Pour la suite $(f_n)$, on montre de même que $(f_{n+1}(x) + f_{n+1}(1-x))' = 0$, donc chaque $f_{n+1}(x) + f_{n+1}(1-x)$ est une constante. Conclusion :
   $$\boxed{ \forall x \in [0, 1], \ f(x) + f(1-x) = 1 + f(1) }$$