Existence d'un zéro pour une limite uniforme

Résolution.

1. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions s'annulant chacune en un point $x_n \in [a, b]$. Par hypothèse, nous avons :
   $$\forall n \in \mathbb{N},   f_n(x_n) = 0$$

   La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments du segment $[a, b]$. Ce segment étant un compact de $\mathbb{R}$, on peut extraire par le théorème de Bolzano-Weierstrass une sous-suite $(x_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ convergeant vers un certain $x \in [a, b]$.

   Montrons que $f(x) = 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on utilise l'inégalité triangulaire :

   $$|f(x)| \leq |f(x) - f(x_{\phi(n)})| + |f(x_{\phi(n)}) - f_{\phi(n)}(x_{\phi(n)})| + |f_{\phi(n)}(x_{\phi(n)})|$$

   Puisque $f_{\phi(n)}(x_{\phi(n)}) = 0$ par définition, il reste :

   $$|f(x)| \leq |f(x) - f(x_{\phi(n)})| + \| f - f_{\phi(n)} \|_{\infty}$$

   Or :

   • Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$, alors $\| f - f_{\phi(n)} \|_{\infty} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
   • Comme chaque $f_n$ est continue et que la convergence est uniforme, la limite $f$ est continue sur $[a, b]$. Par continuité de $f$ en $x$, on a $|f(x) - f(x_{\phi(n)})| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

   Par passage à la limite dans l'inégalité, on obtient $|f(x)| = 0$, d'où :

   $$\boxed{f(x) = 0}$$

2. Le résultat est faux en cas de convergence simple, même si $f$ est continue. Considérons $I = [0, 1]$ et $f(x) = 1$ pour tout $x \in [0, 1]$. La fonction $f$ ne s'annule jamais. Construisons $f_n$ telle que $f_n(0) = 1$, $f_n(1/n) = 0$, et $f_n(x) = 1$ pour $x \geq 2/n$, avec un raccordement affine. Plus précisément, pour $n \geq 2$ :
   $$f_n(x) = \begin{cases} 1 - nx & \text{si } x \in [0, 1/n]$$
   nx - 1 & \text{si } x \in [1/n, 2/n]
   1 & \text{si } x \in [2/n, 1] \end{cases}

   Chaque $f_n$ est continue et $f_n(1/n) = 0$. Pour tout $x > 0$, il existe $n_0$ tel que $2/n_0 < x$, donc pour tout $n \geq n_0$, $f_n(x) = 1$. Ainsi $f_n(x) \to 1$. Pour $x = 0$, $f_n(0) = 1 \to 1$. La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction constante $f : x \mapsto 1$, mais $f$ ne possède aucun zéro.

3. Le résultat est faux sur un intervalle non borné. Considérons $I = [0, +\infty[$ et la fonction $f(x) = e^{-x}$. On a $f(x) > 0$ pour tout $x \geq 0$.

   Définissons pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

   $$f_n(x) = e^{-x} - e^{-n}$$

   Chaque $f_n$ est continue et s'annule en $x_n = n \in I$. Étudions la convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ :

   $$\| f - f_n \|_{\infty} = \sup_{x \geq 0} |e^{-x} - (e^{-x} - e^{-n})| = \sup_{x \geq 0} e^{-n} = e^{-n}$$

   Comme $e^{-n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, +\infty[$. Cependant, la limite $f$ ne s'annule jamais.

   Remarque : Ici, la suite des zéros $x_n = n$ "s'échappe" à l'infini, ce qui n'est possible que parce que l'intervalle n'est pas compact.