Pathologies des normes en dimension infinie

Résolution.

1. Posons $K = [-2, -1] \cup [1, 2]$. L'ensemble $K$ est une réunion de deux compacts disjoints, donc $K$ est compact. Définissons $g: K \to \mathbb{R}$ par $g(x) = x$ si $x \in [1, 2]$ et $g(x) = -x$ si $x \in [-2, -1]$. La fonction $g$ est continue sur chaque composante connexe de $K$, donc $g$ est continue sur $K$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant uniformément vers $g$ sur $K$. Cela signifie :
   $$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in K} |P_n(x) - g(x)| = 0$$
   Ceci implique bien la convergence uniforme sur les deux sous-segments.
   $$\boxed{P_n \to X \text{ sur } [1, 2]   \text{et}   P_n \to -X \text{ sur } [-2, -1]}$$

2. Définissons les deux normes suivantes sur $E = \mathbb{R}[X]$ :
   $$N_1(P) = \sup_{x \in [1, 2]} |P(x)| + \|P\|   \text{et}   N_2(P) = \sup_{x \in [-2, -1]} |P(x)| + \|P\|$$
   où $\|P\|$ est une norme quelconque (ex: somme des modules des coefficients) pour assurer que ce sont des normes. En réalité, $N_1'(P) = \sup_{x \in [1, 2]} |P(x)|$ est déjà une norme sur $\mathbb{R}[X]$ car un polynôme ayant une infinité de racines est nul. En utilisant la suite $(P_n)$ de la question 1 :
   $$N_1(P_n - X) = \sup_{x \in [1, 2]} |P_n(x) - x| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$$
   $$N_2(P_n - (-X)) = \sup_{x \in [-2, -1]} |P_n(x) - (-x)| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$$
   $$\boxed{\text{La limite d'une suite dépend de la norme choisie en dimension infinie.}}$$

3. Pour $Q_1, \dots, Q_k, \dots$, on choisit une famille de segments disjoints $(I_k)_{k \in \mathbb{N}}$. On définit $N_k(P) = \sup_{x \in I_k} |P(x)|$. Par Weierstrass (ou le théorème de Tietze), on peut trouver $P_n$ tel que $P_n$ converge uniformément vers $Q_k$ sur chaque $I_k$. Pour cela, on construit $P_n$ tel que $\|P_n - Q_k\|_{\infty, I_k} \leq \frac{1}{n}$ pour tout $k \leq n$.
   $$\boxed{\text{On peut obtenir une infinité de limites distinctes pour une même suite.}}$$

4. Considérons la norme $L^1$ sur $[0, 1]$ : $N(P) = \int_0^1 |P(t)|   dt$. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On veut approcher $P$ par des polynômes impairs. Il suffit d'approcher les puissances paires $X^{2k}$. Pour $\epsilon > 0$, soit $f_\epsilon$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que $f_\epsilon(0) = 0$ et $f_\epsilon(t) = 1$ pour $t \in [\epsilon, 1]$. On a $\int_0^1 |1 - f_\epsilon(t)|   dt \leq \epsilon$. D'après l'exercice 1, $f_\epsilon$ est limite uniforme de polynômes impairs $Q_m$. Pour $m$ assez grand, $\int_0^1 |f_\epsilon(t) - Q_m(t)|   dt \leq \epsilon$. Par inégalité triangulaire :
   $$N(1 - Q_m) \leq 2\epsilon$$
   Ainsi, $1$ est dans l'adhérence des polynômes impairs. Par extension, tout polynôme l'est.
   $$\boxed{\text{Oui, les polynômes impairs sont denses dans } (\mathbb{R}[X], \|\cdot\|_1).}$$