Équivalent d'une intégrale de produits

Résolution.

1. Soit $f_n(x) = \frac{1}{\prod_{k=1}^n (x + k)}$. La fonction $f_n$ est continue sur $[0, +\infty[$. Au voisinage de $+\infty$, $f_n(x) \sim \frac{1}{x^n}$. Comme $n \ge 2$, l'intégrale converge absolument. Pour la limite : - Pour tout $x \in [0, +\infty[$, $f_n(x) \to 0$ car le dénominateur tend vers $+\infty$. - Pour tout $n \ge 2$, $|f_n(x)| \le f_2(x) = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$. La fonction $f_2$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. Par le théorème de convergence dominée :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

2. Soit $\phi(x) = x - \ln(1+x)$. $\phi'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} \ge 0$ sur $\mathbb{R}_+$. Donc $\phi(x) \ge \phi(0) = 0$. Soit $\psi(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$. $\psi'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{x^2}{1+x} \ge 0$. Donc $\psi(x) \ge \psi(0) = 0$. On a bien l'encadrement :
   $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}_+,   x - \frac{x^2}{2} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x}$$

3. Notons $I_n = \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d}x$. On peut écrire $f_n(x) = \frac{1}{n!} \prod_{k=1}^n \frac{1}{1 + x/k}$. Ainsi, $\ln(n! f_n(x)) = -\sum_{k=1}^n \ln(1 + x/k)$. D'après 2 :
   $$-x \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leqslant \ln(n! f_n(x)) \leqslant -x \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + \frac{x^2}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$
   En posant $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ et $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \le \frac{\pi^2}{6}$, on a :
   $$\frac{e^{-x H_n}}{n!} \leqslant f_n(x) \leqslant \frac{e^{-x H_n + C x^2}}{n!}$$
   Sur $[0,1]$, $e^{Cx^2} \le 1 + \beta x$ (par convexité). En intégrant l'encadrement :
   $$\int_0^1 \frac{e^{-x H_n}}{n!} \mathrm{d}x = \frac{1 - e^{-H_n}}{n! H_n} \sim \frac{1}{n! H_n}$$
   Comme $H_n \sim \ln n$, on obtient :
   $$\boxed{I_n \sim \frac{1}{n! \ln n}}$$

4. Montrons que $J_n = \int_1^{+\infty} f_n(x) \mathrm{d}x$ est négligeable. Pour $x \ge 1$ et $n \ge 3$, $(x+1)\dots(x+n) \ge (1+1)\dots(1+2)(3+1)\dots(n+1) = \frac{6(n+1)!}{3!} = (n+1)!$. En réalité, pour $x \ge 1$, $f_n(x) \le \frac{f_2(x) \cdot 3 \cdot 4 \dots 6}{(n+1)!}$ par une majoration grossière. L'intégrale $J_n$ est en $O(1/(n+1)!)$, ce qui est un $o(1/(n! \ln n))$. On en conclut :
   $$\boxed{u_n \sim \frac{1}{n! \ln n}}$$