Série entière associée à une suite d'intégrales

Résolution.

1. Pour $t \geq 1$, la suite $t \mapsto e^{-t^n}$ décroit simplement vers 0 sur $]1, +\infty[$. De plus, $\forall n \geq 1, |e^{-t^n}| \leq e^{-t}$, qui est intégrable sur $[1, +\infty[$. Par convergence dominée, $\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$.

2. Effectuons le changement de variable $u = t^n$, soit $t = u^{1/n}$ et $\text{d}t = \frac{1}{n} u^{1/n-1} \text{d}u$ :
   $$u_n = \int_1^{+\infty} e^{-u} \frac{1}{n} u^{\frac{1}{n}-1} \text{d}u = \frac{1}{n} \int_1^{+\infty} e^{-u} u^{\frac{1}{n}-1} \text{d}u$$
   Posons $g_n(u) = e^{-u} u^{\frac{1}{n}-1}$ sur $[1, +\infty[$. La suite $(g_n)$ converge simplement vers $g : u \mapsto e^{-u} u^{-1}$. On a la domination $|g_n(u)| \leq e^{-u}$ pour $u \geq 1$. Par TCD :
   $$\int_1^{+\infty} g_n(u) \text{d}u \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_1^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u} \text{d}u = C > 0$$
   Ainsi : $\boxed{u_n \sim \frac{C}{n}}$ avec $C = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u} \text{d}u$.

3. Rayon de convergence : Comme $u_n \sim \frac{C}{n}$, le rayon de convergence de la série entière est $\boxed{R = 1}$. Étude aux bornes :
   • En $x=1$, $\sum u_n$ diverge car $u_n \sim C/n$ (série de Riemann divergente).
   • En $x=-1$, la série $\sum (-1)^n u_n$ converge d'après le critère spécial des séries alternées. En effet, $u_n \to 0$ et $(u_n)$ est décroissante car $t^n \leq t^{n+1}$ pour $t \geq 1 \implies e^{-t^n} \geq e^{-t^{n+1}}$.
   Le domaine de définition est donc $\boxed{D_f = [-1, 1[}$.

4. Puisque $u_n \geq 0$, $f$ est croissante sur $[0, 1[$. Pour tout $N \in \mathbb{N}$ et $x \in [0, 1[$, $f(x) \geq \sum_{n=1}^N u_n x^n$. En faisant tendre $x \to 1^-$, on a $\lim_{x \to 1^-} f(x) \geq \sum_{n=1}^N u_n$. Ceci étant vrai pour tout $N$, et la série $\sum u_n$ divergeant vers $+\infty$, on en déduit :
   $$\boxed{\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty}$$