Série de l'inverse du cosinus hyperbolique

Résolution.

1. Domaine et parité. La fonction $x \mapsto \cosh^2(nx)$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$. Pour $x=0$, le terme général est $\frac{1}{\cosh^2(0)} = 1$. La série $\sum 1$ diverge grossièrement. Pour $x \neq 0$, par parité de $\cosh$, on peut supposer $x > 0$. On a $\frac{1}{\cosh^2(nx)} \underset{n \to +\infty}{\sim} 4e^{-2nx}$. Cette série géométrique converge. Le domaine est donc :
   $$\boxed{D = \mathbb{R}^*}$$
   Comme chaque terme $x \mapsto \frac{1}{\cosh^2(nx)}$ est pair, la fonction $g$ est paire sur $\mathbb{R}^*$.

2. Classe $\mathscr{C$^1.} Soit $v_n(x) = \frac{1}{\cosh^2(nx)}$. On a $v_n'(x) = -2n \frac{\sinh(nx)}{\cosh^3(nx)}$. Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, on a $|\sinh(nx)| < \cosh(nx)$, donc :
   $$|v_n'(x)| \le \frac{2n}{\cosh^2(nx)} \le \frac{2n}{\cosh^2(na)}$$
   La série $\sum \frac{2n}{\cosh^2(na)}$ converge (croissance comparée avec $e^{-2na}$). Il y a convergence normale de $\sum v_n'$ sur tout intervalle $[a, +\infty[$. En conclusion :
   $$\boxed{g \text{ est de classe } \mathscr{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R}^*}$$

3. Limite en $+\infty$. On applique le théorème d'interversion limite-somme sur $[1, +\infty[$.
   • Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x \to +\infty} v_n(x) = \ell_n$. Si $n=0$, $v_0(x) = 1$ donc $\ell_0 = 1$. Si $n \ge 1$, $\ell_n = 0$.
   • La série $\sum v_n$ converge normalement sur $[1, +\infty[$ car $\|v_n\|_{\infty, [1, +\infty[} = v_n(1)$, et $\sum v_n(1)$ converge.
   D'après le théorème :
   $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \ell_n = 1 + 0 + 0 + \dots = \boxed{1}$$

4. Limite en $0^+$. Comme $v_n(x) > 0$ pour tout $n$, on peut minorer $g$ par ses sommes partielles :
   $$\forall N \in \mathbb{N}, \forall x > 0,   g(x) \ge \sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\cosh^2(nx)}$$
   Par limite quand $x \to 0^+$, la somme étant finie :
   $$\liminf_{x \to 0^+} g(x) \ge \sum_{n=0}^{N} \frac{1}{\cosh^2(0)} = N + 1$$
   Ceci étant vrai pour tout $N \in \mathbb{N}$, on en déduit :
   $$\boxed{\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty}$$