Propriétés des séries de Dirichlet

Soit $a = (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de nombres complexes. On définit, là où elle converge, la fonction $f_a$ par :

f_a(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^x}

On note

D_a = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{la série } \sum a_n n^{-x} \text{ converge}\}

. On suppose dans tout l'exercice que

D_a

est non vide.

Montrer que $f_a$ admet une limite finie en $+\infty$ et déterminer sa valeur.
Soit $b = (b_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une autre suite telle que $D_b \neq \emptyset$ . On suppose qu'il existe un réel $A$ tel que pour tout $x > A$ , $f_a(x) = f_b(x)$ . Démontrer que les suites $a$ et $b$ sont identiques.
On considère deux suites $a$ et $b$ dont les domaines de convergence $D_a$ et $D_b$ sont non vides. Déterminer explicitement une suite $c = (c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle qu'il existe un voisinage de $+\infty$ sur lequel : $f_a(x) f_b(x) = f_c(x)$

1.

Pour la limite, utiliser la convergence normale sur un intervalle de la forme $[x_0, +\infty[$ .

2.

Pour l'unicité, procéder par l'absurde en considérant le plus petit indice $n_0$ tel que $a_{n_0} \neq b_{n_0}$ , puis multiplier par $n_0^x$ .

3.

Pour le produit, utiliser le produit de Cauchy pour les séries absolument convergentes et regrouper les termes $n^{-x} m^{-x} = (nm)^{-x}$ .

Idées clés

•

Convergence normale pour l'interversion limite-somme.

•

Comportement asymptotique dominé par le premier terme non nul.

•

Produit de Dirichlet (convolution de Dirichlet).

Résolution.

Soit $x_0 \in D_a$ . La suite $(a_n n^{-x_0})$ est donc bornée par un réel $M > 0$ . Pour tout $x \ge x_0 + 2$ , on a l'estimation : $\left| \frac{a_n}{n^x} \right| = \left| \frac{a_n}{n^{x_0}} \right| \frac{1}{n^{x-x_0}} \le \frac{M}{n^2}$ La série $\sum \frac{M}{n^2}$ étant convergente, la série de fonctions définissant $f_a$ converge normalement sur $[x_0+2, +\infty[$ . Par le théorème d'interversion limite-somme : $\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} \frac{a_n}{n^x}$ Comme $\lim_{x \to +\infty} n^{-x} = 0$ pour tout $n \ge 2$ et $1^{-x} = 1$ , on obtient : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = a_1}$
Posons $c_n = a_n - b_n$ et $f_c(x) = f_a(x) - f_b(x)$ . Par hypothèse, $f_c(x) = 0$ pour $x > A$ . Supposons par l'absurde que la suite $c$ ne soit pas nulle. Soit $n_0 = \min \{ n \in \mathbb{N}^* \mid c_n \neq 0 \}$ . Alors pour tout $x$ assez grand : $0 = \frac{c_{n_0}}{n_0^x} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} \frac{c_n}{n^x}$ En multipliant par $n_0^x$ , on obtient : $c_{n_0} = - \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} c_n \left( \frac{n_0}{n} \right)^x$ Or, pour $n > n_0$ , on a $0 < \frac{n_0}{n} \le \frac{n_0}{n_0+1} < 1$ . En reprenant l'argument de la question 1, la somme à droite tend vers $0$ quand $x \to +\infty$ (convergence normale). On en déduit par passage à la limite que $c_{n_0} = 0$ , ce qui contredit la définition de $n_0$ . $\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*, a_n = b_n}$
Supposons $x$ assez grand pour que les deux séries convergent absolument. Le produit est donné par : $f_a(x) f_b(x) = \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^x} \right) \left( \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{b_m}{m^x} \right)$ Par le théorème sur le produit de Cauchy des séries absolument convergentes, on peut sommer par paquets selon la valeur du produit $k = nm$ : $f_a(x) f_b(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \sum_{nm=k} a_n b_m \right) \frac{1}{k^x}$ En identifiant avec $f_c(x) = \sum \frac{c_k}{k^x}$ , on obtient la suite $c$ définie par : $\boxed{c_k = \sum_{d|k} a_d b_{k/d}}$ Cette opération est appelée le produit de convolution de Dirichlet.

Confusion entre convergence simple et convergence normale pour l'interversion limite-somme.

L'unicité des coefficients d'une série de Dirichlet et la formule de convolution de Dirichlet.