Convergence normale d'une suite intégrale

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies sur l'intervalle $[0, 1]$ par la relation de récurrence suivante :

u_{0}(x)=1   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [0, 1], \ u_{n+1}(x) = \int_{0}^{x} u_{n}(t-t^{2})   \mathrm{d}t

Démontrer que la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, 1]$ .

1.

Commencer par étudier les variations de la fonction $\phi : t \mapsto t-t^2$ sur $[0, 1]$ pour déterminer son image.

2.

Chercher une majoration de la norme infinie de $u_n$ sur un intervalle plus restreint que $[0, 1]$ , par exemple sur l'image de $\phi$ .

3.

En déduire une majoration de $\|u_{n+1}\|_{\infty, [0, 1]}$ en fonction de $\|u_{n}\|_{\infty, [0, 1/4]}$ .

Idées clés

•

Étude de l'image de l'argument $t-t^2$ pour restreindre le domaine d'étude.

•

Utilisation d'une suite géométrique majorante pour prouver la convergence normale.

•

Inégalité de la moyenne sur l'intégrale.

Résolution.

Considérons la fonction $\phi$ définie sur $[0, 1]$ par $\phi(t) = t - t^2$ . Il s'agit d'un polynôme du second degré dont le maximum est atteint en $t = 1/2$ .

On calcule $\phi(1/2) = 1/2 - 1/4 = 1/4$ . Comme $\phi(0) = 0$ et $\phi(1) = 0$ , et que $\phi$ est continue, l'image de l'intervalle $[0, 1]$ par $\phi$ est :

\phi([0, 1]) = \left[ 0, \frac{1}{4} \right]

Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $M_n = \|u_n\|_{\infty, [0, 1/4]} = \sup_{x \in [0, 1/4]} |u_n(x)|$ .

Étape 1 : Majoration sur $[0, 1/4]$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x \in [0, 1/4]$ . On a par définition :

|u_{n+1}(x)| = \left| \int_{0}^{x} u_{n}(t-t^{2})   \mathrm{d}t \right| \leq \int_{0}^{x} |u_{n}(t-t^{2})|   \mathrm{d}t

Puisque $x \in [0, 1/4]$ , pour tout $t \in [0, x]$ , on a $t \in [0, 1/4]$ . D'après l'étude de $\phi$ , on sait que si $t \in [0, 1/4]$ , alors $\phi(t) = t-t^2 \in [0, 1/4]$ (car $\phi$ est croissante sur $[0, 1/2]$ et $\phi(1/4) = 3/16 < 1/4$ ).

Ainsi, $|u_n(t-t^2)| \leq M_n$ pour tout $t \in [0, x]$ . On en déduit :

|u_{n+1}(x)| \leq \int_{0}^{x} M_n   \mathrm{d}t = x M_n \leq \frac{1}{4} M_n

En passant au supremum sur $[0, 1/4]$ , on obtient la relation de récurrence :

\boxed{M_{n+1} \leq \frac{1}{4} M_n}

Par une récurrence immédiate, comme $M_0 = \sup_{x \in [0, 1/4]} |1| = 1$ , nous avons :

\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \ M_n \leq \left( \frac{1}{4} \right)^n}

Étape 2 : Majoration sur $[0, 1]$ .

Soit maintenant $x \in [0, 1]$ . On a :

|u_{n+1}(x)| \leq \int_{0}^{x} |u_{n}(t-t^2)|   \mathrm{d}t

Pour tout $t \in [0, x] \subset [0, 1]$ , on sait que $t-t^2 \in [0, 1/4]$ . Par conséquent, $|u_n(t-t^2)| \leq M_n$ d'après la définition de $M_n$ .

Il vient alors :

|u_{n+1}(x)| \leq \int_{0}^{x} M_n   \mathrm{d}t = x M_n \leq 1 \cdot M_n = M_n

En utilisant le résultat de l'étape 1, on obtient pour tout $x \in [0, 1]$ :

|u_{n+1}(x)| \leq \left( \frac{1}{4} \right)^n

Ceci montre que la norme infinie de $u_{n+1}$ sur $[0, 1]$ est majorée par le terme général d'une série géométrique convergente :

\boxed{\|u_{n+1}\|_{\infty, [0, 1]} \leq \left( \frac{1}{4} \right)^n}

La série numérique $\sum \left( \frac{1}{4} \right)^n$ converge, donc par comparaison, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, 1]$ .

Vouloir majorer brutalement sur [0,1] sans utiliser la restriction de l'image de l'argument.

Utiliser la stabilité d'un sous-intervalle pour obtenir un facteur de contraction dans les définitions récursives.