Série à exposants géométriques

Résolution.

1. Convergence simple. Analysons le comportement de $u_n(x)$ selon les valeurs de $x$ : Si $|x| < 1$, alors $x^{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. On a l'équivalent :
   $$u_n(x) \sim x^{2^n}$$
   Comme $\sum x^{2^n}$ converge (série à termes positifs majorée par une série géométrique), la série converge simplement.

   Si $|x| > 1$, alors $x^{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. On a :

   $$u_n(x) = \frac{x^{2^n}}{1 - x^{2^{n+1}}} \sim \frac{x^{2^n}}{-x^{2^{n+1}}} = -\frac{1}{x^{2^n}}$$
   La série converge également simplement par comparaison avec une série géométrique. Le domaine de convergence simple est donc :
   $$\boxed{ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} }$$

2. Somme et convergence uniforme. Observons que pour $x \in D$ :
   $$\frac{1}{1 - x^{2^n}} - \frac{1}{1 - x^{2^{n+1}}} = \frac{(1 - x^{2^{n+1}}) - (1 - x^{2^n})}{(1 - x^{2^n})(1 - x^{2^{n+1}})} = \frac{x^{2^n} - x^{2^{n+1}}}{(1 - x^{2^n})(1 - x^{2^{n+1}})}$$
   En simplifiant par $(1 - x^{2^n})$, on obtient :
   $$\frac{1}{1 - x^{2^n}} - \frac{1}{1 - x^{2^{n+1}}} = \frac{x^{2^n}(1 - x^{2^n})}{(1 - x^{2^n})(1 - x^{2^{n+1}})} = \frac{x^{2^n}}{1 - x^{2^{n+1}}} = u_n(x)$$
   La somme partielle $S_N(x) = \sum_{n=0}^N u_n(x)$ est donc télescopique :
   $$S_N(x) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x^{2^{N+1}}}$$

   Cas 1 : $|x| < 1$. Alors $x^{2^{N+1}} \to 0$, donc $S(x) = \frac{1}{1 - x} - 1 = \frac{x}{1 - x}$. Le reste est $R_N(x) = \frac{x^{2^{N+1}}}{1 - x^{2^{N+1}}}$. Sur tout segment $[a, b] \subset ]-1, 1[$, on a $|x| \le M < 1$, donc $|R_N(x)| \le \frac{M^{2^{N+1}}}{1 - M^{2^{N+1}}} \to 0$. Il y a convergence uniforme sur tout segment de $]-1, 1[$.

   Cas 2 : $|x| > 1$. Alors $x^{2^{N+1}} \to \infty$ (en valeur absolue), donc $S(x) = \frac{1}{1 - x} - 0 = \frac{1}{1 - x}$. Le reste est $R_N(x) = \frac{1}{1 - x^{2^{N+1}}}$. Sur tout intervalle $]-\infty, b] \subset ]-\infty, -1[$ ou $[c, +\infty[ \subset ]1, +\infty[$, le terme $|x^{2^{N+1}}|$ tend vers l'infini uniformément, donc $R_N$ tend uniformément vers 0. Il y a convergence uniforme sur ces intervalles.

3. Synthèse de la somme.
   $$\boxed{ S(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-x} & \text{si } |x| < 1$$
   \frac{1}{1-x} & \text{si } |x| > 1 \end{cases} }