Étude d'une série alternée perturbée

Résolution.

1. Convergence simple. Pour $x=0$, $u_n(0) = \frac{(-1)^n}{(-1)^n} = 1$, la série diverge grossièrement. Pour $x \neq 0$, étudions le terme général :
   $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{nx} \left( 1 + \frac{(-1)^n}{nx} \right)^{-1} = \frac{(-1)^n}{nx} - \frac{1}{n^2x^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$
   La série $\sum \frac{(-1)^n}{nx}$ converge (critère spécial des séries alternées), et $\sum \frac{1}{n^2x^2}$ converge absolument. Ainsi, la série converge simplement pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
   $$\boxed{ D = \mathbb{R}^* }$$

2. Convergence uniforme. Regroupons les termes par paires :
   $$v_n(x) = u_{2n}(x) + u_{2n+1}(x) = \frac{1}{2nx + 1} - \frac{1}{(2n+1)x - 1}$$
   $$v_n(x) = \frac{(2n+1)x - 1 - (2nx + 1)}{(2nx + 1)((2n+1)x - 1)} = \frac{x - 2}{(2nx + 1)((2n+1)x - 1)}$$
   Pour $x$ fixé dans un segment $[a, b]$ de $\mathbb{R}_+^*$, on a $v_n(x) = O(1/n^2)$ uniformément par rapport à $x$. Le reste de la série des $v_n$ tend donc uniformément vers 0. Comme $u_n(x) \to 0$ uniformément sur $[a,b]$, la convergence de la série originale est aussi uniforme. Le raisonnement est identique pour un segment inclus dans $\mathbb{R}_-^*$.

3. Limite en $+\infty$. Supposons $x \ge 2$. Alors pour tout $n \ge 1$, $x - 2 \ge 0$. On a :
   $$0 \le v_n(x) \le \frac{x}{(2nx)(2nx)} = \frac{1}{4n^2 x}$$
   En sommant pour $n$ allant de 1 à $+\infty$ :
   $$0 \le \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x) \le \frac{1}{4x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$$
   Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x) = 0$. Comme $s(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x)$, on conclut :
   $$\boxed{ \lim_{x \to +\infty} s(x) = 0 }$$