Comportement asymptotique d'une série alternée

Résolution.

1. Étude de la régularité de $f$.

   Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x > 0$, $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$. Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$. Sa dérivée est donnée par :

   $$u_n'(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+x)^{3/2}}$$

   Convergence simple : Pour tout $x > 0$, la suite $(|u_n(x)|)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et tend vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série $\sum u_n(x)$ converge simplement.

   Convergence de la série des dérivées : Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a :

   $$|u_n'(x)| = \frac{1}{2(n+x)^{3/2}} \leq \frac{1}{2(n+a)^{3/2}}$$

   La série numérique $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ est une série de Riemann convergente ($3/2 > 1$). Ainsi, la série $\sum u_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[$.

   Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout $[a, +\infty[$, donc sur $]0, +\infty[$, et :

   $$\boxed{ \forall x > 0,   f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+x)^{3/2}} }$$

2. Équivalent en $0$.

   On sépare le terme pour $n=0$ :

   $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$$

   Posons $R(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$. D'après le CSSA, le reste d'une telle série alternée est majoré en valeur absolue par le premier terme du reste :

   $$\forall x \geq 0,   \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \right| \leq |u_{n+1}(x)| = \frac{1}{\sqrt{n+1+x}} \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

   Cette majoration est indépendante de $x \in [0, +\infty[$, donc la série définissant $R$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$. Comme chaque terme est continu en $0$, $R$ est continue en $0$. Ainsi, $R(x) \xrightarrow[x \to 0]{} R(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, qui est une constante finie.

   Comme $\frac{1}{\sqrt{x}} \xrightarrow[x \to 0]{} +\infty$, on en déduit :

   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x}} }$$

3. Équivalent en $+\infty$.

   Puisque la série converge, on peut regrouper les termes deux par deux :

   $$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{2k+x}} - \frac{1}{\sqrt{2k+1+x}} \right)$$

   Notons $w_k(x) = \frac{\sqrt{2k+1+x} - \sqrt{2k+x}}{\sqrt{2k+x}\sqrt{2k+1+x}}$. Par l'expression conjuguée :

   $$w_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2k+x}\sqrt{2k+1+x}\left(\sqrt{2k+1+x} + \sqrt{2k+x}\right)}$$

   On encadre $w_k(x)$ en utilisant $2k+x < 2k+1+x$ :

   $$\frac{1}{2(2k+1+x)^{3/2}} \leq w_k(x) \leq \frac{1}{2(2k+x)^{3/2}}$$

   Par sommation et comparaison série-intégrale (la fonction $t \mapsto (2t+x)^{-3/2}$ étant décroissante) :

   $$\int_0^{+\infty} \frac{dt}{2(2t+1+x)^{3/2}} \leq f(x) \leq \frac{1}{2x^{3/2}} + \int_0^{+\infty} \frac{dt}{2(2t+x)^{3/2}}$$

   Calculons l'intégrale générique : $I(u) = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{2(2t+u)^{3/2}} = \frac{1}{2} \left[ -(2t+u)^{-1/2} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

   On obtient alors :

   $$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \leq f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x^{3/2}}$$

   Les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ en $+\infty$. Par encadrement :

   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2\sqrt{x}} }$$