Étude asymptotique de deux séries de fonctions

On considère les deux fonctions définies par les sommes de séries suivantes :

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+x)}   \text{et}   g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+nx)}

Étude de $f$ $f$ :
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
2. Déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$ .
Étude de $g$ $g$ :
1. Justifier la convergence de la série définissant $g$ pour tout $x > 0$ .
2. Déterminer un équivalent de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$ .

1.

Pour $f(x)$ , on pourra utiliser une comparaison série-intégrale ou décomposer le terme général en éléments simples pour faire apparaître une somme de type harmonique.

2.

Pour $g(x)$ , on pourra étudier la limite de $x \cdot g(x)$ quand $x \to +\infty$ en utilisant un théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions.

Idées clés

•

Comparaison avec une intégrale pour les comportements en $\ln(x)$ .

•

Théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions (ou continuité de la somme).

•

Décomposition en éléments simples : $\frac{1}{n(n+x)} = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} \right)$ .

1. Étude de la fonction $f$

Domaine de définition : Soit $x > 0$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a : $0 \le \frac{1}{n(n+x)} \le \frac{1}{n^2}$ La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série définissant $f(x)$ converge pour tout $x > 0$ . $\boxed{D_f = \mathbb{R}^{+*}}$
Équivalent en $+\infty$ : Fixons $x > 0$ . La fonction $t \mapsto \frac{1}{t(t+x)}$ est continue, positive et décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale, on a : $\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(t+x)} \le \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+x)} \le \frac{1}{1+x} + \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(t+x)}$ Calculons l'intégrale $I(x) = \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(t+x)}$ . On décompose en éléments simples : $\frac{1}{t(t+x)} = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+x} \right)$ . $I(x) = \frac{1}{x} \left[ \ln\left( \frac{t}{t+x} \right) \right]_{1}^{+\infty} = \frac{1}{x} \left( 0 - \ln\left( \frac{1}{1+x} \right) \right) = \frac{\ln(1+x)}{x}$ D'après l'encadrement précédent : $\frac{\ln(1+x)}{x} \le f(x) \le \frac{1}{1+x} + \frac{\ln(1+x)}{x}$ Comme $\frac{\ln(1+x)}{x} \sim \frac{\ln x}{x}$ et que $\frac{1}{1+x} = o\left( \frac{\ln x}{x} \right)$ , on en déduit par encadrement : $\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\ln x}{x}}$

2. Étude de la fonction $g$

Convergence : Pour $x > 0$ fixé, $\frac{1}{n(1+nx)} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{xn^2}$ . Comme la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, la série définissant $g(x)$ converge pour tout $x > 0$ .
Équivalent en $+\infty$ : Analysons la quantité $x \cdot g(x)$ $x \cdot g (x)$ lorsque $x \to +\infty$ $x \to + \infty$ :
$x \cdot g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n(1+nx)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(\frac{1}{x} + n)}$
Posons $u = \frac{1}{x}$ $u = \frac{1}{x}$ . Lorsque $x \to +\infty$ $x \to + \infty$ , $u \to 0^+$ $u \to 0^{+}$ . Considérons la fonction $h(u) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+u)}$ $h (u) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ( n + u )}$ pour $u \in [0, 1]$ $u \in [0, 1]$ . Soit $w_n(u) = \frac{1}{n(n+u)}$ $w_{n} (u) = \frac{1}{n ( n + u )}$ .
- Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $u \mapsto w_n(u)$ est continue sur $[0, 1]$ .
- Pour tout $u \in [0, 1]$ , $|w_n(u)| \le \frac{1}{n^2}$ .
La série de fonctions $\sum w_n$ $\sum w_{n}$ converge normalement, donc uniformément sur $[0, 1]$ $[0, 1]$ . La somme $h$ $h$ est donc continue sur $[0, 1]$ $[0, 1]$ . En particulier :
$\lim_{u \to 0^+} h(u) = h(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} x \cdot g(x) = \frac{\pi^2}{6}$ $lim_{x \to + \infty} x \cdot g (x) = \frac{π ^{2}}{6}$ . On en conclut :
$\boxed{g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x}}$

Vouloir utiliser la même méthode de comparaison intégrale pour les deux alors qu'une approche par continuité est plus rapide pour la seconde.

Pour un équivalent de somme de série, on teste soit la comparaison intégrale (cas divergeant vers l'infini), soit la continuité de la somme après factorisation du terme prépondérant.