Propriétés d'une somme de série alternée

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour que chaque terme soit défini, il faut $n+x > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit $x > 0$. Pour $x \in \mathbb{R}_+^*$, posons $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$. La suite $\left(\frac{1}{\sqrt{n+x}}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est positive, décroissante et tend vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série $\sum u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{D_f = \mathbb{R}_+^* = ]0, +\infty[}$$

2. Régularité et variations. Posons $f_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$. Chaque $f_n$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ avec :
   $$f_n'(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+x)^{3/2}}$$
   La série $\sum f_n'(x)$ est également une série alternée. Pour tout $x \in [a, +\infty[$ (avec $a>0$), la suite $(\frac{1}{2(n+x)^{3/2}})_n$ décroît vers $0$ de manière uniforme par rapport à $x$ car :
   $$\sup_{x \in [a, +\infty[} \left| \frac{1}{2(n+x)^{3/2}} \right| = \frac{1}{2(n+a)^{3/2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   D'après le CSSA, le reste $R_n'(x)$ de la série des dérivées vérifie $|R_n'(x)| \le |f_{n+1}'(x)| \le \frac{1}{2(n+1+a)^{3/2}}$. La convergence de la série des dérivées est donc uniforme sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$. Ainsi, $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et $f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+x)^{3/2}}$. En réécrivant $f'(x) = - \frac{1}{2x^{3/2}} + \frac{1}{2(1+x)^{3/2}} - \dots$, le CSSA indique que $f'(x)$ est du signe de son premier terme :
   $$f'(x) < 0$$
   $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } ]0, +\infty[}$$

3. Limites. D'après le CSSA, pour tout $x > 0$, la somme $f(x)$ est comprise entre deux sommes partielles consécutives.
   $$0 \le f(x) \le \frac{1}{\sqrt{x}}$$
   Par encadrement, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$, donc $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$. Pour la limite en $0^+$, nous allons utiliser l'équivalent de la question suivante.

4. Équivalent en $0^+$. Isolons le premier terme : $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$. La série $g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ d'après le CSSA (le reste est majoré par $\frac{1}{\sqrt{n+1+x}} \le \frac{1}{\sqrt{n+1}}$). Donc $g$ est continue en $0$, et $g(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} g(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, qui est une valeur finie. D'où $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + O(1)$. Comme $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, on en déduit :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x}}}$$
   On en déduit également $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$.

5. Relation fonctionnelle et équivalent en $+\infty$. (a) Par définition :
   $$f(x) + f(x+1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x+1}}$$
   Par changement d'indice $k = n+1$ dans la seconde somme :
   $$f(x) + f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k+x}}$$
   Les deux sommes se simplifient car $(-1)^{k-1} = -(-1)^k$.
   $$\boxed{f(x) + f(x+1) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$$
   (b) Puisque $f$ est décroissante, on a $f(x+1) \le f(x)$. D'où :
   $$2f(x+1) \le f(x) + f(x+1) \le 2f(x)$$
   En utilisant la relation fonctionnelle :
   $$2f(x+1) \le \frac{1}{\sqrt{x}} \le 2f(x)$$
   L'inégalité de droite donne $f(x) \ge \frac{1}{2\sqrt{x}}$. L'inégalité de gauche, appliquée en $x-1$, donne $2f(x) \le \frac{1}{\sqrt{x-1}}$, soit $f(x) \le \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$. Comme $\frac{1}{2\sqrt{x-1}} \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2\sqrt{x}}$, par encadrement :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$